回溯算法之n皇后问题

今天在看深度优先算法的时候，联想到DFS本质不就是一个递归回溯算法问题，只不过它是应用在图论上的。OK，写下这篇博文也是为了回顾一下回溯算法设计吧。

学习回溯算法问题，最为经典的问题我想应该就是八皇后问题了。

一、适用范围

　　回溯算法应用的范围当然是很多了，那么归纳一下：如果一个问题中，没有很好的数学模型来解决，或者有数学模型解决，但是很难实现，那么我们就可以使用回溯算法来求解。

二、定义

回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。

用回溯算法解决问题的一般步骤：
1 针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。
2 确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间 。
3 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
问题的解空间通常是在搜索问题解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。

例题：八皇后问题

在8*8国际象棋棋盘上，要求在每一行放置一个皇后，且能做到在竖方向，斜方向都没有冲突。国际象棋的棋盘如下图所示：

显然，每一行可以而且必须放一个皇后，所以n皇后问题的解可以用一个n元向量X=（x1,x2,.....xn）表示，其中，1≤ i≤ n且1≤ xi≤ n，即第n个皇后放在第i行第xi列上。

由于两个皇后不能放在同一列上，所以，解向量X必须满足的约束条件为:xi≠ xj;

若两个皇后的摆放位置分别是（i,xi）和（j,xj），在棋盘上斜率为-1的斜线上,满足条件i-j=xi-xj;在棋盘上斜率为1的斜线上，满足条件i+j=xi+xj;

综合两种情况，由于两个皇后不能位于同一斜线上，所以，解向量X必须满足的约束条件为:
|i-xi|≠ |j-xj|

 #include <cmath>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 using namespace std;
 const int MAXSIZE=;

 int Pos_Queen[MAXSIZE];//Pos_Queen[k]代表的含义是第k行的皇后应放在第Pos_Queen[k]列处
 int count=;//全局变量，用来记录所有可能性数量
 bool Is_Safe(int k)//考察皇后k放置在Pos_Queen[k]列是否安全
 {
     for(int i=; i<k; i++)
         if( Pos_Queen[k] == Pos_Queen[i] || abs(k-i) == abs(Pos_Queen[k]-Pos_Queen[i]) )
             return false;
     return true;
 }

 //打印皇后摆放情况
 void Print_Queen( int queenList[], int n )
 {
     cout<<"Case "<<(++count)<<":"<<endl;
     cout<<"  ";
     for( int i=; i<=n; i++ )
     {
         cout<<i<<" ";
     }
     cout<<endl;
     for( int i=; i<=n; i++ )
     {
         cout<<i<<" ";
         for( int j=; j<queenList[i]; j++ )
         {
             cout<<"* ";
         }
         cout<<"Q ";
         for( int j=; j<( n - queenList[i]+ ); j++ )
         {
             cout<<"* ";
         }
         cout<<endl;
     }
     cout<<endl;
 }

 void queue(int n)
 {
     int i,k;
     for(i=; i<=n; i++)
         Pos_Queen[i]=;
     k=;
     while( k>= )
     {
         Pos_Queen[k] = Pos_Queen[k]+;   //在下一列放置第k个皇后
         while( Pos_Queen[k] <= n && !Is_Safe(k) )
             Pos_Queen[k] = Pos_Queen[k]+;//搜索下一列
         if( Pos_Queen[k] <= n && k == n )//得到一个输出
         {
             count++;
             //Print_Queen(Pos_Queen,n);
             //return;//若return则只求出其中一种解，若不return则可以继续回溯，求出全部的可能的解
         }
         else if( Pos_Queen[k] <= n && k < n )
             k = k+;//放置下一个皇后
         else
         {
             Pos_Queen[k]=;//重置Pos_Queen[k],回溯
             k = k-;
         }
     }
 }

 int main()
 {
     int n;
     cout<<"输入皇后个数n:";
     cin>>n;
     queue(n);
     cout<<n<<"皇后问题共有"<<count<<"种放法"<<endl;
     return ;
 }

学习心得：

1.在编写递归枚举程序之前，需要深入分析问题，对模型精雕细琢。一般还应对解答树的结点数有一个粗略的估计，作为评价模型的重要依据。

2.如果在回溯法中试用了辅助的全局变量，则一定要及时把它们恢复原状。例如，若函数有多个出口，则需要在每个出口处恢复被修改的值。

3.从解答树的角度讲，回溯法正是按照深度优先的顺序在遍历解答树。