Matlab与微积分计算

一.极限问题的解析解

　　1.1 单变量函数的极限

　　格式1： L= limit( fun, x, x0)
　　格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)

>> syms x a b;
>> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x);
>> L=limit(f,x,inf)
L =
b*exp(a)

　　可以结合函数图像来观察。

　　1.2 多变量

　　格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0)
　　或 L1=limit(limit(f,y,y0), x,x0)

　　如果x0 或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，如x->g(y)，则上述的极限求取顺序不能交换。

相当于换元法，那肯定是先还原。

>> syms x y a;
>> f=exp(-1/(y^2+x^2)) … *sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
>> L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf)
L =
exp(a^2)

二.函数导数的解析解　　

　　2.1 导数

　　格式： y=diff(fun,x) %求导数
　　y= diff(fun,x,n) %求n阶导数

　　例：

>> syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3);
>> f1=diff(f); pretty(f1)

pretty函数可以使多项式看起来更清晰。

cos(x) sin(x) (2 x + 4)
--------------- - -------------------
2 2 2
x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3)

否则是 cos(x)/(x^2 + 4*x + 3) - (sin(x)*(2*x + 4))/(x^2 + 4*x + 3)^2

原函数及一阶导数图：
>> x1=0:.01:5;
>> y=subs(f, x, x1);
>> y1=subs(f1, x, x1);
>> plot(x1,y,x1,y1,‘:’)

更高阶导数：
>> tic, diff(f,x,100); toc
elapsed_time =
4.6860

　　2.2 多元函数偏导　　

　　和求多远极限的方法类似。
　　格式： f=diff(diff(f,x,m),y,n)
　　或 f=diff(diff(f,y,n),x,m)

　　例：求其偏导数并用图表示。

>> syms x y; z=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
>> zx=simple(diff(z,x))
zx =
-exp(-x^2-y^2-x*y)*(-2*x+2+2*x^3+x^2*y-4*x^2-2*x*y)

>> zy=diff(z,y)
zy =
(x^2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
直接绘制三维曲面
>> [x,y]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);
>> z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);
>> surf(x,y,z), axis([-3 3 -2 2 -0.7 1.5]) %直接surf(x,y,z)就行

axis([-3 3 -2 2 -0.7 1.5])产生三维坐标系。

　　matlab中三维网格图（mesh）和三维曲面图（surf）区别？
　　感觉没啥区别，颜色不同。
　　http://www.cnblogs.com/hxsyl/archive/2012/10/10/2718380.html#3218180

三.积分问题解析解　　

　　格式： F=int(fun,x)
　　定积分 格式： I=int(f,x,a,b)
　　无穷积分 格式： I=int(f,x,a,inf)

　　多重积分：顺序的改变使化简结果不同于原函数，但其误差为0，表明二者实际完全一致。这是由于积分顺序不同，得不出实际的最简形式。
用simple(f-f1)，看结果是不是0

四.级数展开

　　taylor(f,x,k,a)
　　在x = a出展开的前k项。没a的话默认在0出。

例:对y=sinx进行Taylor幂级数展开,并观察不同阶次的近似效果。

>> x0=-2*pi:0.01:2*pi; y0=sin(x0); syms x; y=sin(x);
>> plot(x0,y0,'r-.'), axis([-2*pi,2*pi,-1.5,1.5]); hold on
>> for n=[8:2:16] p=taylor(y,x,n), y1=subs(p,x,x0); line(x0,y1) end % p=taylor(y,n) (2009b

　　line([起点横坐标，终点横坐标],[起点纵坐标，终点纵坐标])，

　　例line([1,2],[3,4])将画出（1,3）到(2,4)的一条直线，而不是(1,2)到(3,4)。

　　当line(a,b)中，a b是相同大小的矩阵时，将会在对应的每一列做一条直线。

　　当line(a,b,c)时，相应地会在三维图中画一条线。

　　a b c 均为2XN矩阵。
　　注意：实际上就是连接了几个点，说成折现比较好。

　　其他的用到再说吧。

五.级数求和

>> x = [1 2 3]

x =

1 2 3

>> y = [4 5 6 ]

y =

4 5 6

>> x*y
错误使用 *
内部矩阵维度必须一致。

>> x.*y

ans =

4 10 18

　　别被.*理解错了，我理解的是对于两个行向量a和b,a*b会是向量乘法，就是的到了一个数，a.*b也会是向量乘法，其实这是因为对matlab不熟悉所致，想想对min/max函数的误解。其实*就是矩阵乘法，提示维度不同，.*就是对应位置相乘，且并没有自动连加操作。

>> syms m,n
未定义函数或变量 'n'。

>> syms m n
>> f = symsum(1/m,m,1,n)-log(n)

f =

eulergamma + psi(n + 1) - log(n)

>> limit(f,n,1,inf)
错误使用 mupadmex
Unexpected second parameter to mupadmex.

出错 sym/limit (line 50)
rSym = mupadmex('symobj::map', args{1}.s, 'symobj::limit', args{2}.s, args{3}.s, dir);

>> limit(f,n,inf)

ans =

eulergamma

六.数值微分

　　d(x+1)-d(x)/Δx或者d(x)-d(x-1)/Δx或者d(x+1)-d(x-1)/2*Δx。