bzoj-2038-莫队

2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 259 MB
Submit: 15784  Solved: 7164
[Submit][Status][Discuss]

Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

HINT

 

Source

版权所有者：莫涛

　　莫队算法的入门题目。

　　莫队算法就是对于类似f(i,j)能在O(1)的时间内推出来f(i-1,j),f(i,j+1),f(i+1,j),f(i,j-1)的话，对于数次离线的区间查询，对查询区间按照

L所在的块为第一关键字，R为第二关键字排序然后处理询问的话，复杂度是O(N*sqrt(N)),具体的证明不会，但是仔细想想也可以大概

模拟出来。他只是利用分块排序，实际处理询问时没有涉及到分块。知道他的简单原理之后就可以做一些模板题目了。

　　这个题目对于[L,R],ans= SUM{C(2,cnt[i])}/C(2,R-L+1) ,cnt[i]表示区间内出现的所有不同的颜色的个数，化简之后的式子变成了，

( SUM{cnt[i]*cnt[i]}-(R-L+1) ) / (R-L+1)*(R-L) ,注意到只有分子的一部分在转移的时候变化一下就好了。

　　

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define LL long long
 #define eps 1e-6
 LL gcd(LL a,LL b){
     return b==?a:gcd(b,a%b);
 }
 LL ans[][],cnt[];
 int col[],N,M,B;
 struct Query{
     int L,R,id;
     bool operator<(const Query& C)const{
         if(L/B!=C.L/B) return L/B<C.L/B;
         return R<C.R;
     }
 }q[];
 int main(){
     scanf("%d%d",&N,&M);
     B=sqrt(N);
     for(int i=;i<=N;++i)scanf("%d",col+i);
     for(int i=;i<=M;++i)scanf("%d%d",&q[i].L,&q[i].R),q[i].id=i;
     sort(q+,q++M);
     LL l=,r=,res=;
     for(int i=;i<=M;++i){
         while(r<q[i].R){
             res+=((cnt[col[r+]]+)*(cnt[col[r+]]+)-cnt[col[r+]]*cnt[col[r+]]);
             cnt[col[r+]]++;
             r++;
         }
         while(r>q[i].R){
             res+=((cnt[col[r]]-)*(cnt[col[r]]-)-(cnt[col[r]])*(cnt[col[r]]));
             cnt[col[r]]--;
             r--;
         }
         while(l<q[i].L){
             res+=((cnt[col[l]]-)*(cnt[col[l]]-)-(cnt[col[l]])*(cnt[col[l]]));
             cnt[col[l]]--;
             l++;
         }
         while(l>q[i].L){
             res+=((cnt[col[l-]]+)*(cnt[col[l-]]+)-(cnt[col[l-]])*(cnt[col[l-]]));
             cnt[col[l-]]++;
             l--;
         }
         ans[q[i].id][]=res-q[i].R+q[i].L-;
         ans[q[i].id][]=(LL)(q[i].R-q[i].L+)*(q[i].R-q[i].L);
     }
     for(int i=;i<=M;++i){
         if(ans[i][]==){
             ans[i][]=;
             continue;
         }
         LL g=gcd(ans[i][],ans[i][]);
         ans[i][]/=g;
         ans[i][]/=g;
     }
     for(int i=;i<=M;++i) printf("%lld/%lld\n",ans[i][],ans[i][]);
     return ;
 }