快速幂取模&快速乘取模

快速幂取模

即快速求出（a^b)mod c 的值。由于当a、b的值非常大时直接求a^b可能造成溢出，并且效率低。

思路

原理就是基于\(a*b \% c = ((a \% c)*(b \% c))\% c\),\(a^b \% c = (a \% c)^b \% c\)公式。

求解快速幂：

设指数b用二进制表示为\(b = (b_n b_{n-1}...b_2b_1b_0)_2\)，

\(b = b_0 + b_1*2^1 + b_2*2^2+...+b_{n-1}*2^{n-1} + b_n*2^n\)，

\(a^b = a^{b_0 + b_1*2^1 + b_2*2^2+...+b_{n-1}*2^{n-1} + b_n*2^n} = a^{b0}*a^{b_1*2^1}*a^{b_2*2^2} *...*a^{b_{n-1}*2^{n-1}} * a^{b_n*2^n}\)，

\(a^b \% c = a^{b0}*a^{b_1*2^1}*a^{b_2*2^2} *...*a^{b_{n-1}*2^{n-1}} * a^{b_n*2^n} \% c\)，

设\(K_n = (a^{b_n*2^n})\%c\)，求Kn的话，当bn=0时Kn=1，bn=1时\(Kn=(a^{2^n})\%c\)，因此再考虑计算\((a^{2^n})\%c\)。

\((a^{2^n})\%c = [(a^{2^{n-1}}\%c)*(a^{2^{n-1}}\%c)]\%c\)由此递推。

代码

python

def quick_powmod(a, b, c):
    a = a % c
    ans = 1 # 存放结果
    while b != 0:
        if b & 1: # 二进制与
            ans = (ans * a) % c
        a = (a * a) % c # 取模是防止溢出
        b >>= 1 # 二进制向右移动一位
    return ans

例如a=2 b=10 c=3，b的二进制表示为1010。

\(2^{10} = 2^{0+ 1*2^1+0*2^2+1*2^3}\)，b的二进制位从右往左取，为0时，累乘a，为1时，将累乘结果乘到ans里。

快速乘取模

使用二进制将乘法转换为加法。

思路

与快速幂取模类似，将一个乘数转换为二进制计算。

例如\(20*14 = 20*(1110)_2 = 20*2^0*0 + 20*2^1*1+20*2^2*1+20*2^3*1\)

代码

Python

def quick_mulmod(a, b, c):
    ans = 0
    a = a % c
    while b != 0:
        if b & 1 :
            ans = (ans + a) % c
        a = (2*a) % c
        b >>= 1
    return ans

乍一看还是很不好懂的，举个例子推导一遍就明白了。