B-概率论-极大似然估计

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极大似然估计

一、最大似然原理

二、极大似然估计

极大似然估计是建立在最大似然原理的基础上的一个统计方法。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即“模型已定，参数未知”。通过观察若干次实验的结果，利用实验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率最大，则称为极大似然估计。

简而言之，极大似然估计的目的是利用已知的样本结果，反推最有可能导致这样结果的参数值。

三、似然函数

假设一个样本集$D$的$n$个样本都是独立同分布的，并且该样本集为

\[
D={x_1,x_2,\ldots,x_n}
\]

似然函数（likelihood function）：联合概率密度函数$p(D|\theta)\(称为相对于\){x_1,x_2,\ldots,x_n}\(的\)\theta$的似然函数。

\[
l(\theta) = p(D|\theta) = p(x_1,x_2,\ldots,x_n|\theta) = \prod_{i=1}^n p(x_i|\theta)
\]

四、极大似然函数估计值

如果$\hat{\theta}\(是\)\theta$参数空间中能使似然函数$l(\theta)\(最大的\)\theta$值，则$\hat{\theta}\(是最可能的参数值，那么\)\hat{\theta}\(是\)\theta$的最大似然估计量，记作

\[
\hat{\theta} = d(x_1,x_2,\ldots,x_n) = d(D)
\]

并且$\hat{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$称作极大似然函数估计值。

五、求解极大似然函数

给出求解最大$\theta$值的公式

\[
\hat{\theta} = arg \underbrace{max}_\theta l(\theta) = arg \underbrace{max}_\theta \prod_{i=1}^n p(x_i|\theta)
\]

为了方便计算，定义对数似然函数$H(\theta)$，即对似然函数求对数

\[
H(\theta) = \ln{l(\theta)}
\]

因此求最大$\theta$值的公式变成了

\[
\hat{\theta} = arg \underbrace{max}_\theta H(\theta) = arg \underbrace{max}_\theta \ln{l(\theta)} = arg \underbrace{max}_\theta \prod_{i=1}^n \ln{p(x_i|\theta)}
\]

并且可以发现公式中只有一个变量$\theta$

5.1 未知参数只有一个

如果$\theta$为标量，在似然函数满足连续、可微的情况下，则极大似然估计量是下面微分方程的解

\[
{\frac{dH(\theta)}{d\theta}} = {\frac{d\ln{l(\theta)}}{d\theta}} = 0
\]

5.2 位置参数有多个

如果$\theta$为$k$维向量，可以把$\theta$记作$\theta = [\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_k]^T$，对$\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_k$求梯度，可得

\[
\Delta_\theta=[{\frac{\partial}{\partial_{\theta_1}}},{\frac{\partial}{\partial_{\theta_2}}},\cdots,{\frac{\partial}{\partial_{\theta_s}}}]^T
\]

如果似然函数满足连续、可导的情况下，则最大似然估计量就是如下方程的解：

\[
\Delta_\theta{H(\theta)} = \Delta_\theta\ln{l(\theta)} = \sum_{i=1}^n \Delta_\theta \ln(p(x_i|\theta)) = 0
\]

5.3 总结

方程的解只是一个估计值，只有在样本趋于无限多的时候，才会逐渐接近真实值。