题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3092

题目描述:将一个数拆分成几个数之和,问这几个数能得到的最大的最小公倍数模上给定的一个数是多少?

分析:首先这些数互质时,最小公倍数最大,考虑到素数都是互质的,猜想可能都被拆分成了素数,

证明:假设这些数被拆分成了m1+m2+m3+...+mk;除mk是合数外其余数都是素数,

mk可以写成一个素数和另外一个数的乘积,mk=a*b,所求的最大的最小公倍数就是m1*m2*m3*...*mk;

然而由于a+b<a*b;将mk分成a+b+(mk-(a+b)),得到的结果肯定比直接加上mk要大,

所以就证明了这些数都为素数。

证明 a+b<a*b;

  1 < (a-1)(b-1);(a>1 && b>1)

  1 < a*b-a-b +1;

a+b+1 < a*b+1   ;

注意到这些素数的乘积可能特别大,所以两边同时去ln,变成加法;

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring >
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define maxn 3100
int prime[maxn];
double d[maxn];
int ans[maxn];
int vis[maxn];
int n,MOD;
void init()
{
memset(ans,,sizeof(ans));
memset(d,,sizeof(d));
}
int pow(int a,int b)
{
int answer=;
for(int i=;i<=b;i++)
answer*=a;
return answer;
}
void solve()
{
for(int j=;j<=n;j++)
{
d[j]=;
ans[j]=;
}
for(int i=;prime[i]<=n;i++)
{
for(int j=n;j>=;j--)
{
for(int k=;pow(prime[i],k)<=j;k++)
//对于第k个素数,有两种选择
{
int s=pow(prime[i],k);
if(j>=s)
if(d[j-s]+log(s*1.0) > d[j] )
{
d[j]=d[j-s]+log(s*1.0);
ans[j]= ( (ans[j-s]*s) )%MOD;
}
}
//printf("%d ",ans[j]);
}
// printf("\n");
}
printf("%d\n",ans[n]);
}
int main()
{
//cout<<log(2.718281828459)<<endl;
int N=maxn-;
int m=sqrt(N+0.5);
memset(vis,,sizeof(vis));
for(int i=;i<=m;i++)
if(!vis[i])
for(int j=i*i;j<=N;j+=i)
vis[j]=;
int t=;
for(int i=;i<=N;i++)
if(vis[i]==)
prime[t++]=i;
/* for(int i=1;i<10;i++)
{
printf("%d ",prime[i]);
}*/
//cout<<endl;
while(~scanf("%d%d",&n,&MOD))
{
init();
solve();
}
return ;
}

   

    

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