浅谈Floyd的三种用法 By cellur925

Floyd大家可能第一时间想到的是他求多源最短路的n³算法。其实它还有另外两种算法的嘛qwq。写一发总结好了qwq。

一、多源最短路

放段代码跑，注意枚举顺序，用邻接矩阵存图。本质是一种动规。

复杂度O(n³)。

 for(int k=;k<=n;k++)
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=n;j++)
             f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]); 

放个例题跑。

灾后重建

二、传递闭包

在交际网络中，给定若干个元素，若干个二元关系，关系有传递性。传递闭包就是一种“通过传递性推导出尽量多的元素之间关系的问题”，求出可确定排名的元素个数。

实现用一个布尔型的邻接矩阵，f[i][j]=1表示i与j有关系，否则则没有关系。

我们每次可以枚举k点，来解决那些间接相关的关系处理。

 for(int k=;k<=n;k++)
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j<=n;j++)
             f[i][j]|=f[i][k]&f[k][j]; 

例题 [USACO08JAN]牛大赛Cow Contest

对于奶牛的编程能力，用f[i][j]=1表示i比j强，之后就是一个裸的传递闭包。跑一遍后n²统计每只牛它与其他牛的关系是否已经确定，意思就是说只要有f[i]j]=1或f[j][i]=1其中一个就行，来统计答案。

Code

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>

 using namespace std;

 int n,m,ans;
 int f[][];

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int x=,y=;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         f[x][y]=;
     }
     for(int k=;k<=n;k++)
         for(int i=;i<=n;i++)
             for(int j=;j<=n;j++)
                 f[i][j]|=f[i][k]&f[k][j];
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int j;
         for(j=;j<=n;j++)
         {
             if(i==j) continue;
             if(f[i][j]==&&f[j][i]==) break;
         }
         if(j>n) ans++;
     }
     printf("%d",ans);
     return ;
 }

三、求无向图最小环

例题1　USACO4.1篱笆回路

这道题难在建图，图建好以后就是裸的跑floyd找最小环了。

（瞎说一句，这题竟然有个数组开了1000的空间，但是越界了呀qwq）

Code

 /*
 ID:cellur_2
 TASK:fence6
 LANG:C++
 */
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>

 using namespace std;
 const int inf=0x3f3f3f3f;

 int n,num,ans=inf;
 int dis[][],mapp[][];
 struct node{
     int len;
     int lcnt,rcnt,lid,rid,id;
     int l[],r[];
 }edge[];

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         scanf("%d",&edge[i].id);
         int x=edge[i].id;
         scanf("%d",&edge[x].len);
         scanf("%d%d",&edge[x].lcnt,&edge[x].rcnt);
         for(int j=;j<=edge[x].lcnt;j++)
             scanf("%d",&edge[x].l[j]);
         for(int j=;j<=edge[x].rcnt;j++)
             scanf("%d",&edge[x].r[j]);
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
     {// lid  这条边左端点的点编号
      // rid  这条边右端点的点编号
         if(!edge[i].lid) edge[i].lid=++num;
         for(int j=;j<=edge[i].lcnt;j++)
         {
             int x=edge[i].l[j];
             bool flag=;
             for(int k=;k<=edge[x].lcnt;k++)
                 if(edge[x].l[k]==i)
                 {
                     flag=;
                     break;
                 }
             if(flag) edge[x].lid=edge[i].lid;
             else edge[x].rid=edge[i].lid;
         }
         if(!edge[i].rid) edge[i].rid=++num;
         for(int j=;j<=edge[i].rcnt;j++)
         {
             int x=edge[i].r[j];
             bool flag=;
             for(int k=;k<=edge[x].lcnt;k++)
                 if(edge[x].l[k]==i)
                 {
                     flag=;
                     break;
                 }
             if(flag) edge[x].lid=edge[i].rid;
             else edge[x].rid=edge[i].rid;
         }
     }
     memset(mapp,0x3f,sizeof(mapp));
     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
     ans=dis[][];
     for(int i=;i<=n;i++) mapp[i][i]=,dis[i][i]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int lid=edge[i].lid;
         int rid=edge[i].rid;
         int len=edge[i].len;
         mapp[rid][lid]=mapp[lid][rid]=len;
         dis[rid][lid]=dis[lid][rid]=len;
     }
     //floyd找最小环
     for(int k=;k<=num;k++)
     {
         for(int i=;i<k;i++)
             for(int j=i+;j<k;j++)
                 ans=min(ans,dis[i][j]+mapp[i][k]+mapp[k][j]);
         for(int i=;i<=num;i++)
             for(int j=;j<=num;j++)
                 dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

例题2　POJ 1734 Sightseeing Trip

其实是floyd找最小环的板子题，但是由于题目要求输出一种合法的方案，所以我们只要再开一个vector就行了。

Code

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<cstring>

 using namespace std;
 typedef long long ll;

 int n,m;
 int ans=0x3f3f3f3f;
 int dis[][],mapp[][],pos[][];
 vector<int>path;

 void get_path(int x,int y)
 {
     if(pos[x][y]==) return ;
     get_path(x,pos[x][y]);
     path.push_back(pos[x][y]);
     get_path(pos[x][y],y);
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
     for(int i=;i<=n;i++) dis[i][i]=;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int x=,y=,z=;
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
         dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[x][y],z);
     }
     memcpy(mapp,dis,sizeof(dis));
     for(int k=;k<=n;k++)
     {
         for(int i=;i<k;i++)
             for(int j=i+;j<k;j++)
                 if((ll)mapp[i][j]+dis[j][k]+dis[i][k]<ans)
                 {
                     ans=mapp[i][j]+dis[i][k]+dis[k][j];
                     path.clear();
                     path.push_back(i);
                     get_path(i,j);
                     path.push_back(j);
                     path.push_back(k);
                 }
         for(int i=;i<=n;i++)
             for(int j=;j<=n;j++)
                 if(mapp[i][j]>mapp[i][k]+mapp[k][j])
                 {
                     mapp[i][j]=mapp[i][k]+mapp[k][j];
                     pos[i][j]=k;
                 }
     }
     if(ans==0x3f3f3f3f)
     {
         printf("No solution.");
         return ;
     }
     for(int i=;i<path.size();i++)
         printf("%d ",path[i]);
     return ;
 }