[ NOI 2002 ] Robot

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Description

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Solution

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垃圾语文题毁我青春

这题其实就是重定义了俩函数....

首先 \(\varphi(1)=0\) 。

然后 \(2\) 在计算 \(\mu\) 的时候不算做质因子，含 \(2\) 的数 \(\mu\) 值 \(=0\) 。

求 \(m\) 的所有因数中 , \(\mu=1,-1,0\) 的 \(\varphi\) 值之和。

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先考虑 \(\mu=1,-1\) 的答案。

根据 \(\mu\) 的定义，此时所有所求的数字都满足，分解质因数每一个质因数的质数至多为 \(1\) 。

然后 **仅对于这些数 ** 欧拉函数就有了一个新的计算公式：

\[\varphi(n)=n\times {\frac{p_1-1}{p_1}}\times {\frac{p_2-1}{p_2}}\times ...\times {\frac{p_m-1}{p_m}}=(p_1-1)\times (p_2-1)\times ...\times (p_3-1)
\]

发现这是一个质数集合选哪些的问题。

注意到每次多选一个质数，所有的数字答案都乘上了相同的数，所以可以直接求答案。

用一种类似动规的写法，依次考虑每一个位置选或不选。

记\(ans_1\)表示选奇数个质因子，\(ans_2\) 表示选偶数个质因子的答案。

\[ans_1+=ans_2\times (p_i-1)，ans_2+=ans_1\times (p_i-1)
\]

可以思考一下加号连接的含义。

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然后就只需要解决 \(\mu=0\) 的部分了。

关于欧拉函数其实有一个等式

\[\sum_{d|m}\varphi(d)=m
\]

然后问题解决，答案就是 \(m-ans_1-ans_2-1\)，之所以多减掉一个 \(1\) 是因为 \(\varphi(1)=0\) 。

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Code

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mod 10000
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

inline int qpow(int x,int t){
    int res=1;
    while(t){
      if(t&1) (res*=x)%=mod;
      (x*=x)%=mod; t>>=1;
    }
    return res;
}

int n,m=1,p,cnt,tmp,ansodd,anseven=1;

int main(){
  int n=rd();
  for(R int i=1;i<=n;++i){
    p=rd(); cnt=rd();
    (m*=qpow(p,cnt))%=mod;
    if(p>2){
      tmp=ansodd;
      (ansodd+=anseven*(p-1))%=mod;
      (anseven+=tmp*(p-1))%=mod;
    }
  }
  printf("%d\n%d\n%d\n",(anseven-1+mod)%mod,ansodd,((m-anseven-ansodd)%mod+mod)%mod);
  return 0;
}