清北学堂-DAY2-数论专题-中国剩余定理（CRT）

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首先请看定义：（百科上抄下来的）孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题。

原文如下：

**有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

**

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

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通俗点讲呢就是这样一个问题：

有一堆物品，数量为n个。

把它三个三个一分组多出来2个，即n%3=2。

把它五个五个一分组多出来3个，即n%5=3。

把它七个七个一分组多出来2个，即n%7=2.

问这堆物品有多少个，即n=？

看起来是不是比较棘手？当然暴力的话是可以解出来的，但是有什么更快的方法呢？

首先我们设n1%3=2，即n1=3k+2;

同理n2=5k+3,n3=7k+2;

那么可不可以找到一个数n=n1+n2+n3使得满足上述所有条件？

在这之前我们需要一个知识点：**若a%b=c,则易知（a+k*b）%b=c.

**

再对问题进一步简化，怎样求出一个一个数x=n1+n2满足x%3=2且x%5=3?

这时候就要用到刚刚的推论，已知n1%3=2，若使(n1+n2)%3=2,则需n2是3的整数倍.同样的，n1也必须是5的整数倍。

于是，要找到一个解n=n1+n2+n3则需以下条件：

  - n1%3=2且n1是5和7的公倍数
  - n2%5=3且n2是3和7的公倍数
  - n3%7=2且n3是3和5的公倍数

也就是说我们只要找到一个是5和7的公倍数且这个数模3得2，一个是3和7的公倍数且这个数模5得3，一个是3和5的公倍数且这个数模7得2（可知每种数有无数个）。然后把这三个数加起来就是我们要的一个解。

接下来的求解就要逆元知识,简单点讲就是：

 若a*b%p=1（或写成a*b=1(mod p)），
 则我们称b是a关于p的逆元。
  前提：a,b互质
 我们已知a和p,就可以求出a关于p的逆元

那么，对于n1来说，假如我们知道一个5和7的公倍数M,又知道M mod 3=2，若我们能像求逆元一样求出一个数b使得M×b%3=2,我们就得到符合条件的n1=M×b，但是逆元中的余数是1,那该怎么办呢？？

我们不妨先求出5和7公倍数M于3的逆元b1，即M×b1%3=1,而我们要求的是M×b%3=2.容易看出，只要我们把上式乘以2得到M×2×b1%3=2。

也就是说，只要将5和7的公倍数乘以它的逆元再乘以2就是我们要的n1。同理也可以求到n2,n3。n1+n2+n3就是其中一个解。

通常为了方便起见,我们就直接将5×7作为

他们的公倍数，即n1=5×7×inv(5×7,3)×2,inv(a,p)表示a关于p的逆元。

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于是一般地对于：

假设整数m1,m2,... ,mk两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组 有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

， 为 关于的逆元。

则

也许你会好奇为什么x不应该是等于右式而是同余于M呢？

这又要前面的知识:

若a%b=c,则易知（a-k*b）%b=c.

则同时加（或减）M是不会对解的正确性有影响的。于是如果你想求最小整数解只需把n1+n2+n3+n4...(还记得一开始的例子吗？)的结果mod M.