Stein算法求最大公约数

首先引进一个符号：gcd是greatest common divisor（最大公约数）的缩写，gcd( x,y ) 表示x和y的最大公约数。然后有一个事实需要了解：一个奇数的所有约数都是奇数。这个很容易，下面我们要用到。 

    来研究一下最大公约数的性质，我们发现有 gcd( k*x,k*y ) = k*gcd( x,y ) 这么一个非常好的性质（证明我就省去了）。说他好是因为他非常符合我们化小的思想。我们试取 k=2 ，则有 gcd( 2x,2y ) = 2 * gcd( x,y )。这使我们很快联想到将两个偶数化小的方法。那么一奇一个偶以及两个奇数的情况我们如何化小呢？

先来看看一奇一偶的情况： 设有2x和y两个数，其中y为奇数。因为y的所有约数都是奇数，所以 a = gcd( 2x,y ) 是奇数。根据2x是个偶数不难联想到，a应该是x的约数。我们来证明一下：(2x)%a=0，设2x=n*a，因为a是奇数，2x是偶数，则必有n是偶数。又因为 x=(n/2)*a，所以 x%a=0，即a是x的约数。因为a也是y的约数，所以a是x和y的公约数，有 gcd( 2x,y ) <= gcd( x,y )。因为gcd( x,y )明显是2x和y的公约数，又有gcd( x,y ) <= gcd( 2x,y )，所以 gcd( 2x,y ) = gcd( x,y )。至此，我们得出了一奇一偶时化小的方法。

再来看看两个奇数的情况：设有两个奇数x和y，似乎x和y直接向小转化没有什么太好的办法，我们可以绕个道，把x和y向偶数靠拢去化小。不妨设x>y，我们注意到x+y和x-y是两个偶数，则有 gcd( x+y,x-y ) = 2 * gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )，那么 gcd( x,y ) 与 gcd( x+y,x-y ) 以及 gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 ) 之间是不是有某种联系呢？为了方便我设 m=(x+y)/2 ，n=(x-y)/2 ，容易发现 m+n=x ，m-n=y 。设 a = gcd( m,n )，则 m%a=0,n%a=0 ，所以 (m+n)%a=0，(m-n)%a=0 ，即 x%a=0 ，y%a=0 ，所以a是x和y的公约数，有 gcd( m,n )<= gcd(x,y)。再设 b = gcd( x,y )肯定为奇数，则 x%b=0,y%b=0 ，所以 (x+y)%b=0 ，(x-y)%b=0 ，又因为x+y和x-y都是偶数，跟前面一奇一偶时证明a是x的约数的方法相同，有 ((x+y)/2)%b=0,((x-y)/2)%b=0 ，即 m%b=0 ，n%b=0 ，所以b是m和n的公约数，有 gcd( x,y ) <= gcd( m,n )。所以 gcd( x,y ) = gcd( m,n ) = gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )。

我们来整理一下，对两个正整数 x>y ：
1.均为偶数 gcd( x,y ) =2gcd( x/2,y/2 )；

2.均为奇数 gcd( x,y ) = gcd( (x+y)/2,(x-y)/2 )；

2.x奇y偶   gcd( x,y ) = gcd( x,y/2 )；

3.x偶y奇   gcd( x,y ) = gcd( x/2,y )  或 gcd( x,y )=gcd( y,x/2 )；

现在我们已经有了递归式，还需要再找出一个退化情况。注意到 gcd( x,x ) = x ，我们就用这个。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
using namespace std;

int Stein(int x,int y)
{
    int ans = 0,tmp;
    if(x<y){
        swap(x,y);
    }
    if(y==0) return x;//0能被任何非0数整除
    while(x!=y)
    {
        if(x&1){//x&0x1(0x表示16#)
            if(y&1){//x,y同为奇数时
                y = (x-y)>>1;
                x -= y;
            }else{//x为奇数，y为偶数时
                y>>=1;
            }
        }else{
            if(y&1){//x为偶数，y为奇数
                x>>=1;
                if(x<y) swap(x,y);
            }else{//x,y都为偶数
                x>>=1;
                y>>=1;
                ans++;
            }
        }
    }
    return x<<ans;
}
int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int x,y;

    while(~scanf("%d%d",&x,&y))
    {
        int ans = Stein(x,y);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}