【BZOJ2339】【HNOI2011】卡农

题解：

　　首先用二进制表示每个音阶是否使用，那么共有$2^{n}-1$（空集不可行）种片段，用$a_{i}$来表示每个片段，问题就是求满足$a_{1}\left (xor\right)a_{2}\left (xor\right)......\left (xor\right)a_{m}==0\&\&a_{i}!=a_{j},1<=i<j<=m$的方案数，我们用$f_{i}$表示片段数为i时，且满足前面式子的答案。

　　那么首先我们在选取i个片段时，必然是由前i-1个片段决定的，所以共有$A_{2^{n}-1}^{i-1}$种选取方案。其中若i-1个时已满足其异或和为0，那么此时是不合法的，所以需要减去$f_{i-1}$，考虑出现重复的情况，因为出现了重复，又有异或的逆运算就是本身，这也就意味着除去两个重复的片段的i-2个片段已经满足其异或和为0，而这个重复的片段在i-1个片段中的位置有i-1种，而这个重复的片段的值又可以在除去i-2个片段的集合中任意选取。

　　所以得到递推式：

　　$$f_{i}=A_{2^{n}-1}^{i-1}-f_{i-1}-f_{i-2}*(2^{n}-1-i+2)*(i-1)$$

　　又由于不允许有重复，在最后除去$m！$即可。

　

 #include<cstdio>
 typedef long long ll;
 const ll mod=;
 const int N=;
 ll n,m;
 ll powmod(ll a,ll b){
     ll ans=;
     a%=mod;
     for(;b;b>>=,a=a*a%mod)
         if(b&) ans=ans*a%mod;
     return ans;
 }
 ll tot;
 ll jie;
 ll fac[N];
 inline void init(){
     fac[]=;
     for(ll i=;i<=m;i++)
         fac[i]=fac[i-]*(tot-i+)%mod;
 }

 ll f[N];
 int main(){
     scanf("%lld%lld",&n,&m);
     tot=powmod(2LL,n);
     tot--;
     if(tot<)   tot+=mod;
     init();
     for(ll i=;i<=m;i++){
         f[i]=(fac[i-]-f[i-])%mod-f[i-]*(i-)%mod*(tot-i+)%mod;
         f[i]%=mod;
     }
     ll tt=;
     for(ll i=;i<=m;++i)
         tt=tt*i%mod;
     tt=powmod(tt,mod-);
     printf("%lld\n",(f[m]*tt%mod+mod)%mod);
 }