【BZOJ4591】【Shoi2015】超能粒子炮

Description

　　

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Solution

　　

​　　记\(a=\lfloor\frac n p\rfloor\)，\(b=n\%p\)。我们尝试使用Lucas定理展开这些组合数，寻找公共部分。以下除法都作整数下取整除法：

\[\begin{aligned}
f(n,k)&=\sum_{i=0}^kC_n^i\mod p\\
&=\sum_{i=0}^{ap-1}C_{n/p}^{i/p}*C_{n\%p}^{i\%p}+\sum_{i=ap}^{n}C_{n/p}^{i/p}*C_{n\%p}^{i\%p}\\
&=(\sum_{i=0}^{a-1}C_{n/p}^i*\sum_{j=0}^{p-1}C_{n\%p}^j)+C_{n/p}^{a}*\sum_{i=0}^bC_{n\%p}^i\\
&=f(n/p,a-1)*f(n\%p,p-1)+C_{n/p}^{k/p}f(n\%p,k\%p)
\end{aligned}
\]

　　　　　

　　

　　所以只需要预处理\(f(0...p-1,0...p-1)\)的值就可以直接计算了。

　　

　　注意判断k<0的情况，此时\(f\)为0。

　　

　　

　　

　　

　　

Code

　　

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=2333,N=2351;
int c[N][N],f[N][N];
inline int plus(int x,int y){return (x+y)%MOD;}
inline int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%MOD;}
inline int C(ll n,ll m){
	if(n<m) return 0;
	if(n<MOD&&m<MOD) return c[n][m];
	return mul(C(n/MOD,m/MOD),C(n%MOD,m%MOD));
}
int solve(ll n,ll k){
	if(k<0) return 0;
	if(n<N&&k<N) return f[n][k];
	return plus(mul(solve(n/MOD,k/MOD-1),f[n%MOD][MOD-1]),mul(C(n/MOD,k/MOD),f[n%MOD][k%MOD]));
}
void init(){
	c[0][0]=1;
	for(int i=1;i<N;i++){
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<N;j++) c[i][j]=plus(c[i-1][j],c[i-1][j-1]);
	}
	for(int i=0;i<N;i++){
		f[i][0]=1;
		for(int j=1;j<N;j++) f[i][j]=plus(f[i][j-1],c[i][j]);
	}
}
int main(){
	init();
	ll T,n,k;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld",&n,&k);
		printf("%lld\n",solve(n,k));
	}
	return 0;
}