2018.09.07 codeforces311B. Cats Transport（斜率优化dp）

传送门

斜率优化dp好题。

对于第i只猫，显然如果管理员想从出发开始刚好接到它，需要在t[i]=h[i]−dist(1,i)" role="presentation" style="position: relative;">t[i]=h[i]−dist(1,i)t[i]=h[i]−dist(1,i)的时候出发才行。

这样的话，如果把第l~r只猫分成一组，那么当前分组需要的最小花费是

t[r]−t[l]+t[r]−t[l+1]+t[r]−t[l+2]+...+t[r]−t[r]=t[r]∗(r−l+1)−(sum[r]−sum[l−1])" role="presentation" style="position: relative;">t[r]−t[l]+t[r]−t[l+1]+t[r]−t[l+2]+...+t[r]−t[r]=t[r]∗(r−l+1)−(sum[r]−sum[l−1])t[r]−t[l]+t[r]−t[l+1]+t[r]−t[l+2]+...+t[r]−t[r]=t[r]∗(r−l+1)−(sum[r]−sum[l−1])

于是就可以推出状态转移方程了：

f[i][j]=min(f[i−1][k]+a[j]∗(j−k)+(sum[j]−sum[k]))" role="presentation" style="position: relative;">f[i][j]=min(f[i−1][k]+a[j]∗(j−k)+(sum[j]−sum[k]))f[i][j]=min(f[i−1][k]+a[j]∗(j−k)+(sum[j]−sum[k]))

对于两个不同的决策k1,k2。

如果k1转移出的结果比k2优秀，那么：

f[i−1][k1]+a[j]∗(j−k1)+(sum[j]−sum[k1])&lt;f[i−1][k2]+a[j]∗(j−k2)+(sum[j]−sum[k2])" role="presentation" style="position: relative;">f[i−1][k1]+a[j]∗(j−k1)+(sum[j]−sum[k1])<f[i−1][k2]+a[j]∗(j−k2)+(sum[j]−sum[k2])f[i−1][k1]+a[j]∗(j−k1)+(sum[j]−sum[k1])<f[i−1][k2]+a[j]∗(j−k2)+(sum[j]−sum[k2])

=>((f[i−1][k1]−sum[k1])−(f[i−1][k2]−sum[k2]))&lt;a[j]∗(k1−k2)" role="presentation" style="position: relative;">((f[i−1][k1]−sum[k1])−(f[i−1][k2]−sum[k2]))<a[j]∗(k1−k2)((f[i−1][k1]−sum[k1])−(f[i−1][k2]−sum[k2]))<a[j]∗(k1−k2)

假设t[k]=f[i−1][k]−sum[k]" role="presentation" style="position: relative;">t[k]=f[i−1][k]−sum[k]t[k]=f[i−1][k]−sum[k]

=>(t[k1]−t[k2])/(k1−k2)&lt;a[j]" role="presentation" style="position: relative;">(t[k1]−t[k2])/(k1−k2)<a[j](t[k1]−t[k2])/(k1−k2)<a[j]

果断斜率优化了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll ans=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return ans*w;
}
int q[N],hd,tl,n,m,p,tmp;
ll dis[N],h[N],t[N],sum[N],f[2][N],ans=1e18;
inline ll gety(int k,int i,int j){return f[k][i]+sum[i]-f[k][j]-sum[j];}
inline ll getx(int i,int j){return i-j;}
int main(){
    n=read(),m=read(),p=read();
    for(int i=2;i<=n;++i)dis[i]=dis[i-1]+read();
    for(int i=1;i<=m;++i)tmp=read(),t[i]=read()-dis[tmp];
    sort(t+1,t+m+1);
    for(int i=1;i<=m;++i)sum[i]=sum[i-1]+t[i];
    fill(f[0]+1,f[0]+m+1,1e18);
    int las=0;
    for(int i=1;i<=p;++i){
        hd=tl=1,q[1]=0,las^=1;
        for(int j=1;j<=m;++j){
            while(hd<tl&&gety(las^1,q[hd+1],q[hd])<t[j]*getx(q[hd+1],q[hd]))++hd;
            int k=q[hd];
            f[las][j]=f[las^1][k]+t[j]*(j-k)-(sum[j]-sum[k]);
            while(hd<tl&&gety(las^1,q[tl],q[tl-1])*getx(j,q[tl])>gety(las^1,j,q[tl])*getx(q[tl],q[tl-1]))--tl;
            q[++tl]=j;
        }
        ans=min(ans,f[las][m]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}