多重背包的入门题目HDU1171,2191,2844.

首先，什么叫多重背包呢？

大概意思就是：一个背包有V总容量，有N种物品，其价值分别为Val1,Val2……,Val3,体积对应的是Vol1，Vol2,……,Vol3，件数对应Num1,Num2……,Num3

求背包至多装满的最大总价值。

其实，首先可以当作01背包来做，这时候复杂度就是O(V*sum(Num[i]));

简单代码来说就是

  for(int i=1;i<=N;i++)
     for(int j=1;j<=Num[i];j++)
          for(int k=V;k>=Vol[i];k++)
                  dp[k]=max(dp[k],dp[k-Vol[i]]+Val[i]);

很容易超时。如果M大的话。从大神的背包九讲看到一个化成O（Vsum（log(Num[i])））

大概意思就是利用先判断是否为完全背包情况，否则二进制压缩进行01背包的步骤。任何一个数目Num[i],可以表示为1+2^1 +……+2^p+Num[i]-2^(p+1)+1 其中确定p的条件是Num[i]-2^(p+1)+1>0,Num[i]-2^(p+2)+1<0

这样我们就可以将第i件物品化成 logNum[i]件物品，起对应的容量和价值，分别对应相应倍数

简单代码就是

     int i,j,k;
     for(i=1; i<=N; i++)
            if(Vol[i]*Num[i]>=V)    //n*v>=V 完全背包
            {
                for(j=Vol[i]; j<=V; j++)   //从val到V
                {
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-Vol[i]]+Val[i]);
                }

            }
            else
            {
                 k=1;
                int num_tmp=Num[i];    //取出数目
                while(k<num_tmp)       //二进制优化
                {
                    for(j=V; j>=k*Vol[i]; j--)     //k*Vol ,k*Val的背包
                        dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*Vol[i]]+Val[i]);
                    num_tmp-=k;
                    k<<=1;
                }
                for(j=V; j>=num_tmp*vol[i]; j--)    //num_tmp*Vol[i],num_tmp*Val[i]背包问题
                {
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-num_tmp*Vol[i] ]+Val[i]);
                }

            }

之后对于HDU1171，2194，用第一种算法就轻松通过了。

HDU1171的题目要我们做的就是将总和/2规划成资产“不会大”的学院当成容量背包。

代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[250000];
int val[52];
int num[52];
int main(){

    int n,i,j,k;
    int sum,V;
    while(scanf("%d",&n)&&n>0){

        memset(dp,0,sizeof(dp));

        sum=0;
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&val[i],&num[i]);
            sum+=val[i]*num[i];
        }
        V=sum/2; //B的
        for(i=1;i<=n;i++){
            for(j=1;j<=num[i];j++){
                for(k=V;k>=val[i];k--){
                    dp[k]=dp[k]>dp[k-val[i]]+val[i]?dp[k]:dp[k-val[i]]+val[i];

                }

            }

        }
        printf("%d %d\n",sum-dp[V],dp[V]);

    }

    return 0;

}

而HDU2191则是赤裸裸的套上模版，更是轻松过。不过在取数组名字时候真是乱七八糟。我有时候用cost val num,有时候用vol val num不过关系都不大。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[106];
int cst[100];
int val[100];
int num[100];
int max(int a,int b){
    return a>b?a:b;

}
int main(){

    int cases,V,N,i,j,k;
    scanf("%d",&cases);
    while(cases--){
       scanf("%d%d",&V,&N);
       memset(dp,0,sizeof(dp));
       memset(cst,0,sizeof(cst));
       memset(val,0,sizeof(val));
       memset(num,0,sizeof(num));
       for(i=1;i<=N;i++)
           scanf("%d%d%d",&cst[i],&val[i],&num[i]);

       for(i=1;i<=N;i++)
           for(j=1;j<=num[i];j++)
               for(k=V;k>=cst[i];k--){
                   dp[k]=max(dp[k],dp[k-cst[i]]+val[i]);

               }

               printf("%d\n",dp[V]);

    }
    return 0;

}

对于HDU2844这题目，我错了很多次……大多数都是RE……后来大我AC了我才发现，是我当初的数组开的太小了。

大概思路就是：令vol=val,来做成背包，能付多少钱嘛，那么dp[i]==i就是刚好付i元，最后统计一下就好啦。

一开始我试着直接化成01背包，果断TLE了……

/*******************************************************************************/
/* OS           : 3.2.0-58-generic #88-Ubuntu SMP Tue Dec 3 UTC 2013 GNU/Linux
 * Compiler     : GCC  4.6.3 (Ubuntu/Linaro 4.6.3-1ubuntu5)
 * Encoding     : UTF8
 * Date         : 2014-03-11
 * All Rights Reserved by yaolong.
*****************************************************************************/
/* Description: ***************************************************************
*****************************************************************************/
/* Analysis: ******************************************************************
*****************************************************************************/
/*****************************************************************************/

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[100002];
int val[122];
int num[122];
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;

}
int main()
{

   int V,N,i,j,res;

    while(~scanf("%d%d",&N,&V)&&(N||V))
    {

        memset(dp,0,sizeof(dp));

        for(i=1; i<=N; i++)
            scanf("%d",&val[i]);
        for(i=1; i<=N; i++)
            scanf("%d",&num[i]);

        for(i=1; i<=N; i++)
        {
            if(val[i]*num[i]>=V)    //n*v>=V 完全背包
            {
                for(j=val[i]; j<=V; j++)   //从val到V
                {
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-val[i]]+val[i]);
                }

            }
            else
            {
                int k=1;
                int num_tmp=num[i];    //取出数目
                while(k<num_tmp)       //二进制优化
                {
                    for(j=V; j>=k*val[i]; j--)     //k*val ,k*val的背包
                        dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*val[i]]+k*val[i]);
                    num_tmp-=k;
                    k<<=1;
                }
                for(j=V; j>=num_tmp*val[i]; j--)    //num_tmp*val[i],num_tmp*val[i]背包问题
                {
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-num_tmp*val[i]]+num_tmp*val[i]);
                }

            }

        }

        res=0;

        for(i = 1; i<=V; i++)

            if(dp[i]==i)
            {
                res++;
            }

        printf("%d\n",res);

    }

    return 0;

}

后来我又写了一遍，因为我当初把各种背包函数写在外面出错了，其实我一直不明白为什么GCC提交，打注释就有问题……

/*******************************************************************************/
/* OS           : 3.2.0-58-generic #88-Ubuntu SMP Tue Dec 3 UTC 2013 GNU/Linux
 * Compiler     : GCC  4.6.3 (Ubuntu/Linaro 4.6.3-1ubuntu5)
 * Encoding     : UTF8
 * Date         : 2014-03-11
 * All Rights Reserved by yaolong.
*****************************************************************************/
/* Description: ***************************************************************
*****************************************************************************/
/* Analysis: ******************************************************************
*****************************************************************************/
/*****************************************************************************/

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[100002];
int w[122];    //weight
int n[122];    //num
int v[122];    //volume
int V,N;//Volume of the Pack,Number of things

int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;

}
void ZeroOnePack(int vol,int weight){
    int i;
    for(i=V;i>=vol;i--){
      dp[i]=max(dp[i],dp[i-vol]+weight);
    }

}
void CompletePack(int vol,int weight){
    int i;
    for(i=vol;i<=V;i++){
      dp[i]=max(dp[i],dp[i-vol]+weight);
    }

}
void MultiPack(int vol,int weight,int num){

    if(num*vol>=V){//CompletePack
        CompletePack(vol,weight);
        return ;
    }
    int k=1;
    while(k<num){
        ZeroOnePack(k*vol,k*weight);  //ZeroOnePackage
        num-=k;
        k<<=1;
    }
    ZeroOnePack(num*vol,num*weight);

}
int main()
{
    int i,res;
    while(scanf("%d%d",&N,&V),N+V){
         memset(dp,0,sizeof(dp));
         for(i=1;i<=N;i++)
             scanf("%d",&w[i]);
         for(i=1;i<=N;i++)
             scanf("%d",&n[i]);
         for(i=1;i<=N;i++)
            MultiPack(w[i],w[i],n[i]);

         res=0;
         for(i=1;i<=V;i++)
            if(dp[i]==i){
               res++;
            }
         printf("%d\n",res);

    }

   return 0;

}