Josephus Problem的详细算法及其Python、Java实现

  笔者昨天看电视，偶尔看到一集讲述古罗马人与犹太人的战争——马萨达战争，深为震撼，有兴趣的同学可以移步：http://finance.ifeng.com/a/20170627/15491157_0.shtml .

  这不仅让笔者想起以前在学数据结构时碰到的Josephus问题：

  据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人找到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

  以前我们都是用链表的方法编程来解决这个问题的，这次笔者将会讲述两个不同的方法，一个是笔者自己的朴素想法，一个是数学方法。

• 朴素方法
• 数学方法

  首先我们先将Josephus问题描述出来，即： 共有N个人围成一圈，编号分别为1,2,...,N,从第一个人开始从1到m报数，报到m的人退出，如此循环下去，直至最后一个人。问最后一个人的最开始的编号是几？

  先是笔者的朴素想法。

  将N个人储存在列表（list）中，每次报到m的元素剔除，并记录下最后一个人报的数i，然后将缩短后的数组从i+1报数，如此循环下去，直至列表的长度为1，这样剩下来的元素就是我们要求的答案。

  这种想法虽然素朴，比较容易实现，但是时间复杂度为O(Nm).

  接着是数学方法。

  假设一开始的Josephus环编号为0,1,2,...,N-1.我们知道第一个人(编号一定是m%N-1) 出列之后，剩下的N-1个人组成了一个新的Josephus环（以编号为k=m%n的人开始）:

\[k, k+1, k+2,......, n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
\]

并且从k开始报0.

  现在我们把他们的编号做一下转换：

\[k --> 0\\
k+1 --> 1\\
k+2 --> 2\\
...\\
k-2 --> n-2\\
k-1 --> n-1\]

变换后就成为了(N-1)个人报数的子问题，这启示我们可以用归纳法来解决这个问题。假如我们知道这个子问题的解为\(x\)，原来问题的答案为\(x^{'}\),则\(x^{'}=(x+k)\%n.\)因此，递推公式就有了！令\(f(i)\)表示\(i\)个人玩游戏报\(m\)退出最后胜利者的编号，我们要求的结果是\(f(N)\)，其递推公式如下：

\[f(1)=0\\
f(1)=(f(i-1)+m)\% i \qquad (i>1)\]

  数学方法简单明了，计算效率高，但是推导比较困难。

  最后，我们给出以下两种方法的Python代码和朴素方法的Java代码，希望能给大家一点思考。

  完整的Python代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-

# This code is devoted to solve the Josephus Problem by Python.

# N: numper of people
# m: cycle number
def solve1(N, m):
    a = list(range(1, N+1)) # sequence

    end = 0 # the number of last man in sequence
    while len(a) > 1:
        b = []
        for i in a:
            if not (end+a.index(i)+1)%m:
                b.append(i)
                # print(i, end=' ') # print the order of removing
            if a.index(i) == len(a)-1: # last man of sequence
                end = (end+a.index(i)+1)%m

        # remove elements in b from a
        for i in b:
            a.remove(i)

    return a[0]

# solve the problem by math method
def solve2(N, m):
    return 0 if N == 1 else (solve2(N-1, m)+m)%N

# main function for execution
def main():
    N, m = 41, 3
    left1 = solve1(N, m)
    print('\nThe man left: %d' %left1)

    left2 = solve2(N, m)+1
    print('\nThe man left: %d' % left2)

main()

  完整的Java代码如下：

import java.util.ArrayList;

public class Josephus {

	public static void main(String[] args) {
		int N = 41;
		int m = 3;
		int left = solve(N, m);
	    System.out.println("\nThe man left is "+left+".");

	}

	public static int solve(int N, int m) {
		ArrayList<Integer> a = new ArrayList<Integer>();
		int end = 0;

		for(int i=0; i < N; i++)
			a.add(i+1);

		while(a.size() > 1) {
			ArrayList<Integer> b = new ArrayList<Integer>();

			for(int i: a) {
				if ((end+a.indexOf(i)+1)%m == 0)
					b.add(i);
				// System.out.print(i+"-->");

				if(a.indexOf(i) == a.size()-1)
					end = (end+a.indexOf(i)+1)%m;
			}

			for(Object i: b) {
				a.remove(i);
			}
		}

		return a.get(0);
	}

}

  本次分享到此结束，欢迎大家交流~~