前言

看这篇博客前,先去了解一下后缀数组的基本操作吧:后缀数组入门(一)——后缀排序

这篇博客的内容,主要建立于后缀排序的基础之上,进一步研究一个\(Height\)数组以及如何求\(LCP\)。

什么是\(LCP\)

\(LCP\),即\(Longest\ Common\ Prefix\),是最长公共前缀的意思。

而在后缀数组中,\(LCP(i,j)\)表示后缀\(_{SA_i}\)与后缀\(_{SA_j}\)的最长公共前缀的长度,注意是\(SA_i\)和\(SA_j\),而不是\(i\)和\(j\)。

\(LCP\)的性质

先是几个比较简单的基本性质:

  • \(LCP(i,j)=LCP(j,i)\)

    这应该是比较显然的。

  • \(LCP(i,i)=n-SA_i+1\)

    这个性质非常重要,因为在求\(LCP\)的过程中要特判该情况,不然会死得特别惨。

接下来,是一些比较复杂的性质:

  • \(LCP(i,j)=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)(对于任意\(1\le i\le k\le j\))

    首先,设\(x=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\),则可得\(LCP(i,k)\ge x,LCP(j,k)\ge x\)。

    因此我们可以知道后缀\(_{SA_i}\),后缀\(_{SA_j}\)的前\(x\)个字符分别与后缀\(_{SA_k}\)的前\(x\)个字符相等

    后缀\(_{SA_i}\),后缀\(_{SA_j}\)的前\(x\)个字符相等,即\(LCP(i,j)\ge x\)。

    而由于后缀\(_{SA_i}<\)后缀\(_{SA_k}<\)后缀\(_{SA_{j}}\),且由\(x=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)可得,\(LCP(i,j)\le x\)。

    故\(LCP(i,j)=x\)。

  • \(LCP(i,j)=min_{k=i+1}^jLCP(k,k-1)\)

    由\(LCP(i,j)=min(LCP(i,k),LCP(j,k))\)这个性质,我们可以把\(LCP(i,j)\)拆成\(j-i\)个部分,分别为\(LCP(i+1,i),LCP(i+2,i+1),...,LCP(j,j-1)\)。

    然后再取\(min\)即可。

这两个性质虽然看似令人匪夷所思,但仔细理解其实还是能看懂的。

这两个性质在\(LCP\)的求解过程中发挥着十分重要的作用。

\(Height\)数组

为了方便求解\(LCP\),我们需要在定义一个新的数组:\(Height\)数组。

\(Height_i\)表示的是\(LCP(i,i-1)\)。

因此\(LCP(i,j)\)的结果就是\(min_{k=i+1}^jHeight_i\),这似乎可以在知道\(Height\)数组的情况下用\(RMQ\)实现\(O(1)\)求解。

于是关键来了:如何求出\(Height\)数组。

如何求\(Height\)数组

首先我们要知道一个性质\(Height_{i}\ge Height_{i-1}-1\)。

这个性质我也不会证,反正它还是挺简单的,背一下就好了。

这样一来,我们每次可以把\(Height_{i}\)初始化为\(Height_{i-1}-1\),然后每次尽量向外延长即可,这一过程似乎与\(Manacher\)算法有点类似。

代码

放一份求\(Height\)数组及\(LCP\)的模板代码:

class Class_SuffixArray
{
private:
int n,SA[N+5],Height[N+5],rk[N+5],pos[N+5],tot[N+5];
inline void RadixSort(int S)//基数排序
{
register int i;
for(i=0;i<=S;++i) tot[i]=0;
for(i=1;i<=n;++i) ++tot[rk[i]];
for(i=1;i<=S;++i) tot[i]+=tot[i-1];
for(i=n;i;--i) SA[tot[rk[pos[i]]]--]=pos[i];
}
inline void GetSA(char *s)//后缀排序,求SA数组
{
register int i,k,Size=122,cnt=0;
for(i=1;i<=n;++i) rk[pos[i]=i]=s[i-1];
for(RadixSort(Size),k=1;cnt<n;k<<=1)
{
for(Size=cnt,cnt=0,i=1;i<=k;++i) pos[++cnt]=n-k+i;
for(i=1;i<=n;++i) SA[i]>k&&(pos[++cnt]=SA[i]-k);
for(RadixSort(Size),i=1;i<=n;++i) pos[i]=rk[i];
for(rk[SA[1]]=cnt=1,i=2;i<=n;++i) rk[SA[i]]=(pos[SA[i-1]]^pos[SA[i]]||pos[SA[i-1]+k]^pos[SA[i]+k])?++cnt:cnt;
}
}
inline void GetHeight(char *s)//求Height数组
{
register int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;++i) rk[SA[i]]=i;//更新rk数组
for(i=1;i<=n;++i)
{
if(k&&--k,!(rk[i]^1)) continue;//对于rk[i]=1的情况直接跳过
j=SA[rk[i]-1];//找到上一个后缀的坐标
while(i+k<=n&&j+k<=n&&!(s[i+k-1]^s[j+k-1])) ++k;//尽量拓展
Height[rk[i]]=k;//存值
}
}
class Class_RMQ//RMQ求区间最值
{
private:
#define LogN 15
int Log2[N+5],Min[N+5][LogN+5];
public:
inline void Init(int len,int *data)
{
register int i,j;
for(i=2;i<=len;++i) Log2[i]=Log2[i>>1]+1;
for(i=1;i<=len;++i) Min[i][0]=data[i];
for(j=1;(1<<j-1)<=len;++j) for(i=1;i+(1<<j-1)<=len;++i) Min[i][j]=min(Min[i][j-1],Min[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
inline int GetMin(int l,int r) {register int k=Log2[r-l+1];return min(Min[l][k],Min[r-(1<<k)+1][k]);}
}RMQ;
public:
inline void Init(int len,char *s) {n=len,GetSA(s),GetHeight(s),RMQ.Init(n,Height);}//初始化
inline int LCP(int x,int y) {return x^y?(rk[x]>rk[y]&&swap(x,y),RMQ.GetMin(rk[x]+1,rk[y])):n-x+1;}//求LCP,注意特判x=y的情况
};

后缀数组入门(二)——Height数组与LCP的更多相关文章

  1. 062 01 Android 零基础入门 01 Java基础语法 07 Java二维数组 01 二维数组应用

    062 01 Android 零基础入门 01 Java基础语法 07 Java二维数组 01 二维数组应用 本文知识点:二维数组应用 二维数组的声明和创建 ? 出现空指针异常 数组的名字指向数组的第 ...

  2. 一维数组、二维数组——Java

    一. 一维数组 1.  数组是相同类型数据的有序集合 相同类型的若干个数据,按照一定先后次序排列组合而成 每个数组元素可以通过一个下标来访问它们 其中,每一个数据称作一个数组元素 2. 数组特点: 其 ...

  3. C#的一维数组和二维数组定义方式:

    一维数组: //一维数组定义与初始化 ,, };//第一种方式 , , }; //第二种方式 int[] one3; //第三种方式 one3=,,}; 二维数组: //二维数组定义与初始化 //不规 ...

  4. C# 数组、一维数组、二维数组、多维数组、锯齿数组

    C#  数组.一维数组.二维数组.多维数组.锯齿数组 一.数组: 如果需要使用同一类型的对象,就可以使用数组,数组是一种数据结构,它可以包含同一类型的多个元素.它的长度是固定的,如长度未知的情况下,请 ...

  5. c#简单实现二维数组和二维数组列表List&lt;&gt;的转置

    刚看到网上一篇文章里用sql实现了行列转置.sql server 2005/2008只用一个pivot函数就可以实现sql server 2000很多行的复杂实现.提到转置,立刻想起还在求学阶段曾经做 ...

  6. java - day005 - 数组工具类, 数组复制,二维数组,变量,方法, 面向对象

    1. java.util.Arrays  数组工具类    Arrays.toString (数组) 数组值链接字符串 Arrays.sort(数组) 基本类型: 优化的快速排序 引用类型: 优化的合 ...

  7. Java数组之二维数组

    Java中除了一维数组外,还有二维数组,三维数组等多维数组.本文以介绍二维数组来了解多维数组. 1.二维数组的基础 二维数组的定义:二维数组就是数组的数组,数组里的元素也是数组. 二维数组表示行列二维 ...

  8. java基础5 (一维)数组和二维数组

    本文知识点(目录): 一维数组(一维数组的概念.优点.格式.定义.初始化.遍历.常见异常.内存分析以及常见操作(找最大值.选择排序.冒泡排序等等))    二维数组(二维数组的遍历.排序.查找.定义. ...

  9. JS中:数组和二维数组、MAP、Set和枚举的使用

    1.数组和二维数组:   方法一: var names = ['Michael', 'Bob', 'Tracy']; names[0];// 'Michael' 方法二: var mycars=new ...

  10. 二维数组,锯齿数组和集合 C# 一维数组、二维数组(矩形数组)、交错数组(锯齿数组)的使用 C# 数组、多维数组(矩形数组)、锯齿数组(交叉数组)

    二维数组,锯齿数组和集合 一.二维数组 二维数组:一维数组----豆角二维数组----表格 定义:1.一维数组:数据类型[] 数组变量名 = new 数据类型[数组长度];数据类型[] 数组变量名 = ...

随机推荐

  1. hive 全表全字段对比

    select * from ( select max(t1.source) as source ,t1.c1 ,t1.c2 ,t1.c3 ,count(*) as cnt from ( as sour ...

  2. mc01_IntelliJ IDEA安装与Java项目创建以及Tomcat配置

    IntelliJ IDEA安装与激活 下载地址:http://www.jetbrains.com/idea/ 安装下一步下一步即可,关键是注册激活,该部分分两个步骤: 1. 配置windows hos ...

  3. js中this指向

    JavaScript由于在运行期进行绑定的特性,JavaScript中的this可以是全局对象,当前对象或者任意对象,这完全取决于函数的调用方式 1.全局作用域或者普通函数中this指向全局对象win ...

  4. Mysql 查看表数据以及索引大小

    如果想查看 Mysql 数据库的总的数据量或者某个表的数据或者索引大小,可以使用系统库 information_schema 来查询,这个系统库中有一个 TABLES 表,这个表是用来记录数据库中表的 ...

  5. call and apply

    apply()把参数打包成Array再传入: call()把参数按顺序传入. Math.max.apply(null, [3, 5, 4]); // 5 Math.max.call(null, 3, ...

  6. Selenium2(WebDriver)中执行JavaScript代码 (转)

    在用selenium编写web页面的自动化测试代码时,可能需要执行一些JavaScript代码,selenium本身就支持执行js,我们在代码中可以使用executeScript.executeAsy ...

  7. 那些经历过的Bug Unity的Invoke方法

    有一个游戏对象,上面挂着 3 个脚本,如下: using System.Collections; using System.Collections.Generic; using UnityEngine ...

  8. Murano Deployment

    2015-09-14 05:53:02 — Action deploy is scheduled 2015-09-14 05:53:03 — Unable to load due to 'could ...

  9. (转)iptables简介

    iptables简介 原文:https://www.cnblogs.com/metoy/p/4320813.html netfilter/iptables(简称为iptables)组成Linux平台下 ...

  10. 牛客网Java刷题知识点之字符流缓冲区、BufferedWriter、BufferedReader、BufferedReader-readLine方法原理、自定义MyBufferedReader-read方法、自定义MyBufferedReader-readLine方法

    不多说,直接上干货! 把提高效率的动作,封装成一个对象.即把缓冲区封装成一个对象. 就是在一个类里封装一个数组,能对流锁操作数据进行缓存. 什么是字符流缓冲区? 善于使用字符流缓冲区,减轻负担,提高下 ...