https://vijos.org/p/1900 (题目链接)

题意

  给出一个01环,问最少经过多少次相邻互换使得所有的0聚在一坨,所有的1聚在一坨。

Solution

  源自:LCF Solution

  一般环上的问题都要把序列复制一遍,然后转成了序列上的问题。这道也不例外。

  经过观察后我们“显然”可以得到一个结论:对于最优解,定有断点使得所有的交换都不经过这个点。因为如果所有相邻的位置都交换了一次,相邻的位置都交换了一次那么这些操作并没有改变这个环的形态,也就是没有任何作用完全可以直接去掉。(然而LCF讲题翻车,这个证明显然是错误的,在不同的时间交换两个相邻的位置最终态并不会一样→_→。然而我也会证,只是感觉很正确)

  于是,我们就可以枚举断点,然后就转变为了一个序列了。我们的目的就变成了使0全部靠边。然后可以预处理出每个0移动到左边界需要多少步,右边界需要多少步。发现对于一个序列,肯定是存在一条分界线使得左边一部分0往左靠,右边一部分0往右靠,当断点顺时针移动的时候,分界点显然不会逆时针移动。于是这玩意儿是有单调性的,弄一个单调指针扫一扫就可以了。

细节

  数组开大两倍

代码

// vijos1900
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf 1e18
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std; const int maxn=2000010;
int a[maxn],sum[maxn];
char ch[maxn]; int main() {
int T;scanf("%d",&T);
for (int cas=1;cas<=T;cas++) {
scanf("%s",ch+1);
int n=strlen(ch+1);
for (int i=1;i<=n;i++) {
if (ch[i]=='B') a[i]=0;
else a[i]=1;
}
for (int i=n+1;i<=n*2;i++) a[i]=a[i-n];
for (int i=1;i<=n*2;i++) sum[i]=a[i]+sum[i-1];
LL p=1,ans=inf,L=0,R=0,lnum=0,rnum=0;
for (int i=1;i<=n;i++) if (a[i]==0) R+=sum[n]-sum[i-1],rnum++;
for (int s=1;s<=n;s++) {
int t=s+n-1;
if (s!=1) {
if (a[s-1]==0) lnum--;
if (a[s-1]==1) L-=lnum;
if (a[t]==0) rnum++;
if (a[t]==1) R+=rnum;
}
for (p;p<=t+1;p++) if (a[p]==0) {
if (sum[p-1]-sum[s-1]>sum[t]-sum[p]) break;
L+=sum[p-1]-sum[s-1];
R-=sum[t]-sum[p];
lnum++;rnum--;
}
ans=min(ans,L+R);
}
printf("Case #%d: %lld\n",cas,ans);
}
return 0;
}

  

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