这里有 Min-Max 容斥的证明以及唯一一道博主做过的例题...

上个结论:

\[Min\{S\}=\sum_{T\subseteq S,T\not=\varnothing}(-1)^{|T|-1}Max\{T\} \]

\[Max\{S\}=\sum_{T\subseteq S,T\not=\varnothing}(-1)^{|T|-1}Min\{T\} \]

具体的证明其实很简单...我们考虑证明其中一个(以第一个为例),另一个可以用类似证法得到结论。咱直接考虑集合内元素不重的情况,因为相同大小我们强制规定他们之间存在大小关系就好了,并不影响结果

那么我们再把元素从小到大排个序,从前往后考虑每个值对答案的贡献...

首先第一个元素有贡献当且仅当集合里只有它一个元素,那么这样的集合只有一个,所以它的贡献有且仅有一次;

对于第二个元素,它除了自己一定要选以外,比他小的元素(这时只有第一个元素)全部可选可不选,总共有 \(2^{1}=2\) 种方案,并且集合大小为奇数和为偶数的情况各有一次,两者贡献抵消

对于后面的元素,可以用第二个元素类似的思路去想,最后我们发现除第一个元素以外的所有贡献都相互抵消了

当然咱也可以用二项式定理草率地证明一下,然后也能发现贡献相抵了,究其原因就是杨辉三角奇数列和偶数列之差为 0 ,而第一行为 1 是个特例 (因为只有一个元素)

于是乎得证...

例题:按位或

这题里面的期望满足使用 Min-Max 容斥的性质...

题解点 这里

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