【学习小记】Berlekamp-Massey算法

Preface

BM算法是用来求一个数列的最短线性递推式的。

形式化的，BM算法能够对于长度为n的有穷数列或者已知其满足线性递推的无穷数列\(a\)，找到最短的长度为m的有穷数列\(c\)，满足对于所有的\(i\geq n\)，有$$a_i=\sum\limits_{j=1}^{m}c_ja_{i-j}$$

Text

BM算法的流程十分简洁明了——增量，构造，修正。

方便起见，我们令a的下标从0开始，c的下标从1开始

假设我们当前构造出来的递推系数C是第\(cnt\)版（经过cnt次修正）长度为\(m\)，能够满足前\(a_0...a_{i-1}\)项，记做\(_{cnt}C\)，初始时\(_{cnt}C\)为空,m=0

记\(d_i=a_i-\sum\limits_{j=1}^{m}c_ja_{i-j}\)

若\(d_i=0\)，那么C符合的很好，不用管它

否则，我们需要进行一定的修正，\(_{cnt}C\)需要变换到\(_{cnt+1}C\)。

记\(fail_{cnt}\)表示\(_{cnt}C\)在\(a_i\)处拟合失败。

若\(cnt=0\)，说明这是a的第一个非0元素，直接设\(m=i+1\),在\(C\)中填上i+1个0。显然这满足定义式（因为前m项是可以不满足递推式的）。

否则我们考虑如何构造，如果能找到一个\(C'\)，满足对于\(m\leq j\leq i-1\)，都有\(\sum\limits_{k=1}^{m}c'_ka_{j-k}=0\)，且\(\sum\limits_{k=1}^{m}c'_ka_{i-k}=1\)

那么可以构造\(_{cnt+1}C=_{cnt}C+d_iC'\)，显然这一定满足性质。其中加法为按项数对应加。

如何构造呢？我们可以利用之前的C！

找到某一个\(k\in[0..cnt-1]\)

我们构造设\(w={d_i\over d_{fail_k}}\)，构造\(wC'=\{0,0,0,0,...,0,w,-w*{_{k}C}\}\)

其中前面填上了\(i-fail_k-1\)个0，后面相当于是\(_kC\)乘上\(-w\)接在了后面。

为什么这是对的？其实很简单，对于\(a_i\)，带进去的算出来的东西相当于是$$wa_{fail_k}-w(a_{fail_k}-d_{fail_k})=wd_{fail_k}=d_i$$

而对于\(m\leq j\leq i-1\)，算出来的是正好是\(w*a_{j-(i-fail_k)}-w*a_{j-(i-fail_k)}=0\)，利用了\(_kC\)在1到\(fail_k-1\)都满足关系式，而在\(fail_k\)相差\(d\)的性质。

此时我们还希望总的长度最短，也就是说\(max(m_{cnt},i-fail_k+m_{k})\)最短。

我们只需要动态维护最短的\(i-fail_k+m_{k}\)即可，每次算出\(_{cnt+1}\)时都与之前的k比较一下谁更短即可，这样贪心可以感受出来是正确的。

最坏时间复杂度显然是\(O(nm)\)的

Code

LL rc[4*N],rp[4*N],le,le1,rw[4*N];
void BM()
{
	le=le1=0;
	memset(rc,0,sizeof(rc));
	memset(rp,0,sizeof(rp));
	int lf=0;LL lv=0;
	fo(i,0,n1)
	{
		LL v=0;
		fo(j,1,le) inc(v,rc[j]*ap[i-j]%mo);
		if(v==ap[i]) continue;
		if(le==0)
		{
			le=i+1;
			fo(j,1,le) rc[j]=rp[j]=0;
			le1=0,lf=i,lv=(ap[i]-v)%mo;
			continue;
		}
		v=(ap[i]-v+mo)%mo;
		LL mul=v*ksm(lv,mo-2)%mo;

		fo(j,1,le) rw[j]=rc[j];

		inc(rc[i-lf],mul);
		fo(j,i-lf+1,i-lf+le1) inc(rc[j],(mo-mul*rp[j-(i-lf)]%mo)%mo);
		if(le<i-lf+le1)
		{
			swap(le1,le);
			le=i-lf+le,lf=i,lv=v;
			fo(j,1,le1) rp[j]=rw[j];
		}

		v=0;
		fo(j,1,le) inc(v,rc[j]*ap[i-j]%mo);
	}
}