Python练习题 040：Project Euler 012：有超过500个因子的三角形数

本题来自 Project Euler 第12题：https://projecteuler.net/problem=12

# Project Euler: Problem 12: Highly divisible triangular number
# The sequence of triangle numbers is generated by adding the natural numbers.
# So the 7th triangle number would be 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.
# The first ten terms would be:
# 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
# Let us list the factors of the first seven triangle numbers:
# 1: 1
# 3: 1,3
# 6: 1,2,3,6
# 10: 1,2,5,10
# 15: 1,3,5,15
# 21: 1,3,7,21
# 28: 1,2,4,7,14,28
# We can see that 28 is the first triangle number to have over five divisors.
# What is the value of the first triangle number to have over five hundred divisors?
# Answer: 76576500

import time
startTime = time.clock()

def f(x):
    c = 0
    for i in range(1,int(x**.5)+1):
        if x%i == 0:
            c += 1
    if float(int(x**.5)) == x**.5:
        return (c*2-1)
    else:
        return(c*2)

triNumber = 1
natNumber = 1
while f(triNumber) < 500:
    natNumber += 1
    triNumber += natNumber
    f(triNumber)
print(triNumber)

print('Time used: %.2d' % (time.clock() - startTime))

所谓“三角形数”，指的是自然数相加后的和，第n个三角形数即是从1开始的n个自然数相加后的和。例如：第5个三角形数就是 1+2+3+4+5=15。而15这个数字拥有的所有因子为：1、3、5、15 这四个数字。本题求解首个拥有 500 个因子的三角形数。

一开始我是这么想的：先写一个函数，用来把任意三角形数的所有因子放进列表 lst 里。之后再写一个 while 循环函数，只要 len(lst) 不超过 500，就不停计算下一个更大的三角形数，直到 len(lst) 超过 500，这个三角形数即为题解。写完了，计算拥有超过 50 个因子的倒还可以，但 500？反正运行了半天也没算出来：判断是否为因子的这几行代码太费时间了。

于是又求助网络（来源网页找不着了，刚才电脑死了一次机），发现有这么一个思路：其实，判断三角形数 x 有多少个因子，根本不需要判断 range(1, x+1) 这么多次，而是大概只需要判断 range(1, int(x**.5)+1) 次，然后把这个次数乘以 2 就行。唯一例外就是：如果 x 开根号后仍是整数，那么次数乘2之后，还得减掉1才行。为什么呢？算法啥的我是不太懂，但观察一下还是能观察出来的：

比如：28（第7个三角形数）的因子是：1、2、4、7、14、28，而根号28（5.3）正好就在4、7中间，处于所有因子的中间，因此只要判断 range(1,6) 就可以得出1/2的次数，之后乘2就可以了。

但是：36（第8个三角形数）的因子是：1、2、3、4、6、9、12、18、36，而根号36正好是6，也正好处于所有因子的中间，但6是其中一个因子，不像上例中的5.3，并非因子。因此，如果判断 range(1,7) 再乘以2，就会多算进一个数字（即因子6被乘2，多算了1个）。因此，在这种开根号正好是整数的情况下，必须把总次数减掉1才行。

如此一开根号，我这破电脑也能在12秒左右算出答案。撒花~~~~~~