探究"补阶乘大法的本质"——糖水不等式!
废话不多说先来康一条例题:
证明:
下面给出题目的一种解法(我称之为"补阶乘大法"):
思考:为什么补上一个阶乘(准确说不是阶乘,是两个数阶乘的之商)项,放缩后再给去掉,就能达到我们的目的呢?
要探究其中的奥秘,不妨看一看放缩的细节:
整个放缩就是k-1个这样的小放缩相乘而得,我们稍微变形一下,得到:
熟悉吧,这就是著名的糖水不等式。
我们试试将k个糖水不等式相乘,得到如下不等式:
累乘后,分子部分可以消去很多项,最后留下一个指数式和分式的不等关系。(细品这个不等式真的挺妙的。。)
诶,是不是发现放缩比例题那个放多了?没事,我们用k-1代k稍微变形一下:
所以我们发现,代入k里的值越小,放缩程度越小。其实也很好理解,k越小,同时相乘的小不等式越少,放缩的程度当然也相应减小。
在这里,糖水不等式发挥了重要的作用。
看似很简单的不等式,当他们累乘起来后,却搭建起了指数式和分数式的不等关系的桥梁。
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