Codeforces Round #677 (Div. 3) E、G题解

E. Two Round Dances #圆排列

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题意

\(n\)（保证偶数）个人，要表演一个节目，这个节目包含两种圆形舞蹈，而每种圆形舞蹈恰好需要\(n/2\)个人，每个人只能跳一种圆形舞。

一个节目中两支舞蹈中的人编号组成一条圆环。故两个节目，对应两个圆环排列。两个不相同的节目，等价于，两个圆排列是不同的，现要你求出他们能做出多少种不同的节目。

分析

圆排列：从\(n\)个不同元素选取\(r\)个元素，不分首尾地围成一个圆圈的排列。

其排列方案数为：\(\frac{A^r_n}{r}\)。特别地，当\(n=r\)时，\(\frac{A^n_n}{n}\)可以进一步得到\((n-1)!\)

从\(n\)个人抽取\(\frac{n}{2}\)个人，有\(C^{\frac{n}{2}}_n\)分法，相应地另一组\(\frac{n}{2}\)也定下来。接下来考虑内部的排列，第一组的\(\frac{n}{2}\)个人进行圆排列有\((\frac{n}{2}-1)!\)个方案，第二组也有\((\frac{n}{2}-1)!\)个方案，由乘法原理得到最终答案：\(C^{\frac{n}{2}}_n \times (\frac{n}{2}-1)! \times(\frac{n}{2}-1)! \times \frac{1}{2}\). 最终答案之所以乘这个\(\frac{1}{2}\)是因为第一组的排列与第二组的排列可交换的。下面的代码是对上式进行了化简。

#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <vector>
#include <deque>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const int MAXN = 75;
ll n;
int main(){
    scanf("%lld", &n);
    ll ans = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans *= (ll)i;
    ans *= (ll)2;
    ans /= (ll)(n * n);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

G. Reducing Delivery Cost #最短路径 #暴力

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题意

\(n\)个点\(m\)条双向路，第\(i\)条路花费为\(w_i\)。现在有\(k\)个快递员，他们各自有不同的出发地\(a_i\)与目的地\(b_i\)。你现在可以从原\(m\)条双向路中选择至多一条的路，将该条路的花费置为\(0\)。现要你求出\(k\)个快递员的最小花费总和。其中\(2 \le n \le 1000, n - 1 \le m \le min(1000, \frac{n(n-1)}{2})\)

分析

由于题目需要我们询问多组的不同起点至终点的最短距离，同时考虑到数据的规模才\(1e3\)，于是我们暴力地枚举每个顶点，计算从这个顶点出发到另外点的最短距离——通过\(dijkstra\)算法。

但是题目还没完，它还附加了条件，可以选择一条边权值至零。因为只能操作一条边，且边数量不大，直接枚举所有要删除的边，然后删去这个边后更新每个快递员的最短距离。

注意，在更新的过程中，一定要两个方向同时更新！

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long ld;
const int MAXN = 1e3 + 5;
int n, m, k, tot, H[MAXN], dis[MAXN][MAXN];
struct Edge {
	int from, to, nextNbr, w;
}E[MAXN << 1];
void addEdge(int u, int v, int w) {
	tot++;
	E[tot].from = u;
	E[tot].to = v;
	E[tot].nextNbr = H[u];
	E[tot].w = w;
	H[u] = tot;
}
typedef struct qnode { //存放在优先队列中
	int u, dis;
	bool operator <(const struct qnode& oth) const {
		return dis > oth.dis;
	}
} qnode;
struct Route { //记录每个快递员的路径起点与终点
	int st, ed;
}Route[MAXN];
void dijstra(int st) { //求出以st为起点，到达其他点的最短路径
	for (int i = 1; i <= n; i++) dis[st][i] = 0x3f3f3f3f;
	dis[st][st] = 0;
	priority_queue<qnode> myque;
	myque.push({ st, 0 });
	while (!myque.empty()) {
		int u = myque.top().u, curdis = myque.top().dis;
		myque.pop();
		if  (curdis != dis[st][u]) continue;
		for (int i = H[u]; i >= 0; i = E[i].nextNbr) {
			int v = E[i].to, w = E[i].w;
			if (u == v) continue;
			if (dis[st][u] + w < dis[st][v]) {
				dis[st][v] = dis[st][u] + w;
				myque.push({ v, dis[st][v] });
			}
		}
	}
}
int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++) H[i] = -1;
	for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
		addEdge(u, v, w);
		addEdge(v, u, w);
	}
	int ans = 0x3f3f3f3f;
	for (int i = 1; i <= n; i++) dijstra(i);
	for (int i = 1; i <= k; i++) scanf("%d%d", &Route[i].st, &Route[i].ed);
	for (int i = 1; i <= tot; i+=2) { //【先】枚举需要去除的边，因为只能去除一条边
		int u = E[i].from, v = E[i].to;
		int sum = 0;
		for (int j = 1; j <= k; j++) { //【后】枚举去掉该边后，更新每个快递员的最短路径
			int st = Route[j].st, ed = Route[j].ed;
			sum += min(dis[st][ed],
				   min(dis[st][u] + dis[v][ed], dis[st][v] + dis[u][ed]));
		} //注意！！！一定要从两个方向取最小值
		ans = min(ans, sum);
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}