【思维题状压dp】APC001F

可能算是道中规中矩的套路题吧……

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Problem Statement

You are given a tree with N vertices. The vertices are numbered 0 through N−1, and the edges are numbered 1 through N−1. Edge i connects Vertex xi and yi, and has a value ai. You can perform the following operation any number of times:

Choose a simple path and a non-negative integer x, then for each edge e that belongs to the path, change ae by executing ae←ae⊕x (⊕ denotes XOR).

Your objective is to have ae=0 for all edges e. Find the minimum number of operations required to achieve it.

Constraints

2≤N≤105
0≤xi,yi≤N−1
0≤ai≤15
The given graph is a tree.
All input values are integers.

题目大意

给定一个 $n$ 个节点的树，节点的标号为 $0\sim n-1$，边的标号为 $1\sim n-1$。每条边 $i$ 连接节点 $x_i$ 和 $y_i$，并且有一个权值 $a_i$。你可以进行如下的操作若干次。

选择一条简单路径以及一个非负整数 $x$，然后对于每条属于这条路径的边，将它的权值异或上 $x$。

你的目标是让所有边的权值变成 $0$，同时，最小化操作的次数。

题目分析

我的初步想法是考虑对路径权值按位拆分。可能是受以前做过的一道序列一维问题的影响吧，就一直朝着这个思路想下去了……这个思路的关键在于没法处理不同位的路径的合并。

考虑设计一个守恒的部分量：将每个点记点权为相连所有路径边权的异或和。这么处理的好处在于对路径(u,v)进行一次操作之后，全图只有u,v的点权改变。对于点权相同的点对，最优操作当然是直接将它们消去；于是最后剩下的点权最多只有16种。注意到点权0是没有影响的，所以处理完点权之后，再对剩下的15种点权做一遍状压dp就可以了。

//CXR的快读板子怎么这么快

 #include<bits/stdc++.h>

 #define Tp template<typename Ty>

 #define Ts template<typename Ty,typename... Ar>

 #define Reg register

 #define RI Reg int

 #define Con const

 #define CI Con int&

 #define I inline

 #define W while

 #define N 100000

 #define P 15

 #define INF 1e9

 #define Gmin(x,y) (x>(y)&&(x=(y)))

 const int maxn = ;

 const int maxs = <<;

 int n,cnt,a[maxn],f[maxs],sta,ans;

 class Class_FIO

 {

     private:

         #define FS 100000

         #define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)

         #define pc(c) (putchar(c))

         #define tn(x) (x<<3)+(x<<1)

         #define D isdigit(c=tc())

         int T;char c,*A,*B,FI[FS],S[FS];

     public:

         I Class_FIO() {A=B=FI;}

         Tp I void read(Ty& x) {x=;W(!D);W(x=tn(x)+(c&),D);}

         Tp I void write(Ty x) {W(S[++T]=x%+,x/=);W(T) pc(S[T--]);}

         Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}

 }F;

 int dp(int x)

 {

     if (!x) return ;

     if (f[x]!=-) return f[x];

     int ret = 1e9;

     for (int i=; i<; i++)

         if (x&(<<i)) for (int j=; j<; j++)

             if ((x&(<<j))&&i!=j)

                 ret = std::min(ret, dp(x^(<<i)^(<<j)^(<<(i^j)))++((x&(<<(i^j)))?:));

     f[x] = ret;

     return ret;

 }

 int main()

 {

     F.read(n);

     memset(f, -, sizeof f);

     for (int i=; i<n; i++)

     {

         int x,y,z;

         F.read(x), ++x, F.read(y), ++y, F.read(z);

         a[x] ^= z, a[y] ^= z;

     }

     for (int i=; i<=n; i++)

         if (a[i]&&((sta>>a[i])&)) sta ^= <<a[i], ++ans;

         else if (a[i]) sta ^= <<a[i];

     printf("%d\n",ans+dp(sta));

     return ;

 }

END