NOI-OJ 2.2 ID:8758 2的幂次方表示

思路

• 可以把任意一个数转化为2^a+2b+2^c+...+2n
  • 例如137的二进制为10001001，这就等效于2⁷⁺²3+2^0
  • 以上结果如何通过程序循环处理呢？需要把数字n分解为上述公式，对指数（a，b，...n）依次进行递归
  • 要对整个结果进行递归生成字符串组后一次性输出比较麻烦，但若是递归输出就会很简单。

算法流程

1. 将数字n的幂次方组合信息计算出来，存放在数组中
2. 输出每一个加数项的底数和空格，指数通过递归方式输出

cout<<"2(";
mici(p);
cout<<")";

第1步的处理方法有多种，可以使用数组，也可以使用按位运算，详见例程

例程1

#include<iostream>
using namespace std;
void power(int n){
	int i;
	int plusFlag=1;
	for(i=15; i>=0; i--){
		if(n&(1<<i)){								//按位运算
			if(plusFlag==1)		plusFlag=0;         //只有一次不输出“+”
			else				printf("+");
			if(i==0)			printf("2(0)");	    //临界点
			else if(i==1)		printf("2");		//临界点
			else if(i==2)		printf("2(2)");	    //临界点
			else{
				printf("2(");
				power(i);                           //递归
				printf(")");
			}
		}
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	power(n);
	return 0;
}

该程序使用了按位运算和移位运算：

移位运算

左移位运算“a<<b”，可以将a的二进制位左移b位，右边补0，左边移出的丢弃
右移位运算“a>>b”，可以将a的二进制位右移b位，左边补0，右边移动的丢弃

例1：137在4字节表示的情况下为00000000 00000000 00000000 10001001

00000000 00000000 00000000 10001001 >>4 得到：

00000000 00000000 00000000 00001000

00000000 00000000 00000000 10001001 <<4 得到：

00000000 00000000 00001000 10010000

同时可以看到，左移1位在左边没有有效位（1）溢出的情况下，相当于乘2，右移1位相当于除2（只保留整数部分）

按位运算

1. 0&0-->0		0&1-->0		1&0-->0		1&1-->1
2. 0|0-->0		0|1-->1		1|0-->1		1|1-->1
3. ^0-->1 		^1-->0

运算规则见例子：

10101010 & 01010101 ---> 00000000	//170 & 85 ---> 0
10101010 | 01010101 ---> 11111111	//170 | 85 ---> 127
^10101010			---> 01010101	//^170	   ---> 85
^11111111			---> 00000000	//^127     ---> 0

通过按位、移位运算我们可以对数字的比特位进行操作，但功能不仅限于此，在很多题目中，善用按位和移位运算可以帮助我们轻松解决问题，要善于灵活应用，本题就是一个例子。按位和移位运算都是CPU的基本指令，所以这些运算的效率是比较高的。

自反赋值运算符

和其它运算符一样，按位和移位也有自反赋值运算符，方便使用：

a<<=b	//a=a<<b;
a>>=b	//a=a>>b;
a&=b	//a=a&b;
a|=b	//a=a|b;

例程2

#include<iostream>
using namespace std;
void power(int n){
	int jishu[16]={0};		    //存放级数信息（每个幂次的指数）
	int count=0;			    //有几个加法项 （幂次）
	int i=0;			        //i用于计算指数
	while(n){
		if(n%2)	jishu[count++]=i;
		n/=2;
		i++;			        //每做一次除法，指数增加1
	}
	//这里的思路是：共出现了count次1，第i个1出现的位置是jishu[i]，
	//所以jishu[i]代表的是第i个1的级数，即2^jishu[i]
	for(int i=count-1; i>=0; i--){
		if(jishu[i]==0)		    printf("2(0)");		//临界值
		else if(jishu[i]==1)	printf("2");		//临界值
		else if(jishu[i]==2)	printf("2(2)");		//临界值
		else{
			printf("2(");
			power(jishu[i]);
			printf(")");
		}
		if(i!=0)	printf("+");                    //最后一次不输出“+”
	}
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
	power(n);
    return 0;
}