poj1191 棋盘分割【区间DP】【记忆化搜索】

棋盘分割

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Description

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。 
均方差，其中平均值，x_i为第i块矩形棋盘的总分。 
请编程对给出的棋盘及n，求出O'的最小值。 

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。 
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。 

Output

仅一个数，为O'（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633

Source

Noi 99

题意：

一个8*8的棋盘，进行分割。每次将一个矩形分割成两个。一个矩形的值是里面所有格子值之和。现在想切出n个矩形，希望求得最小的均方差。

思路：

我们先把均方差的公式进行化简

平均值是一个定值，因为每个矩形都是格子值之和。于是我们发现结果之和Xi平方有关。Xi平方越小越好。

对于每一个格子，都可以用两个坐标（i， j）和（x,y）表示，他们分别是矩形的左上角和右下角。

一个矩形有两种切割方法，横着切，竖着切，假设在k处切

横着切时，矩形被分成了(i, j)(k, y) 和 (k + 1, j)(x,y)

竖着切时，矩形被分成了(i,j)(x,k) 和(i, k+1)(x,y)

但是这样还没办法进行状态转移，因为矩形的先后顺序不知道。所以我们可以再引入一维变量，表示各自的顺序。

于是在切割i次时，得到两个矩形，其中一个应该是i+1次切割的矩形。可以得到状态转移方程。

因为是i推i+1，所以用记忆化搜索写起来可能方便一点

 //#include <bits/stdc++.h>
 #include<iostream>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<stdio.h>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<map>
 #include<set>

 #define inf 0x3f3f3f3f
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 int n;
 int board[][], hang[][], dp[][][][][];

 /*int getval(int i, int j, int x, int y)
 {
     int res = 0;
     for(int k = i; k <= x; k++){
         res += hang[i][y] - hang[i][j - 1];
     }
     return res * res;
 }*/

 int getval(int i, int j, int x, int y)
 {
     int res = ;
     for(int a = i; a <= x; a++){
         for(int b = j; b <= y; b++){
             res += board[a][b];
         }
     }
     return res * res;
 }

 int DP(int k, int i, int j, int x, int y)
 {
     int ans = ;
     if(dp[k][i][j][x][y] >= )return dp[k][i][j][x][y];
     if(k == n - ){
         return getval(i, j, x, y);
     }
     dp[k][i][j][x][y] = inf;
     for(int tmp = i; tmp < x; tmp++){
         ans = min(DP(k + , i, j, tmp, y) + getval(tmp + , j, x, y), DP(k + , tmp + , j, x, y) + getval(i, j, tmp, y));
         dp[k][i][j][x][y] = min(ans, dp[k][i][j][x][y]);
     }
     for(int tmp = j; tmp < y; tmp++){
         ans = min(DP(k + , i, j, x, tmp) + getval(i, tmp + , x, y), DP(k + , i, tmp + , x, y) + getval(i, j, x, tmp));
         dp[k][i][j][x][y] = min(ans, dp[k][i][j][x][y]);
     }
     return dp[k][i][j][x][y];
 }

 int main(){

     while(scanf("%d", &n) != EOF){
         double sum = ;
         memset(hang, , sizeof(hang));
         for(int i = ; i <= ; i++){
             for(int j = ; j <= ; j++){
                 scanf("%d", &board[i][j]);
                 sum += board[i][j] * 1.0;
                 hang[i][j] = hang[i][j - ] + board[i][j];
             }
         }
         sum /= 1.0 * n;
         memset(dp, -, sizeof(dp));
         int ans = DP(, , , , );
         //cout<<ans<<endl;
         //cout<<dp[n - 1][1][1][8][8]<<endl;
         printf("%.3f\n",sqrt((dp[][][][][])*1.0/n-sum*sum));
     }
     return ;
 }