【bzoj1257】[CQOI2007]余数之和sum 数论

题目描述

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

输入

输入仅一行，包含两个整数n, k。

输出

输出仅一行，即j(n, k)。

样例输入

5 3

样例输出

7

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题解

分块

首先当i>k时，k%i=k，所以如果n>k，直接把答案预先加上(n-k)*k，再把n变成k计算即可。

然后就是求 ∑(k%i)(1≤i≤n) 的问题。

考虑到 k%i=k-i*(k/i) ，于是所求即为∑(k-i*(k/i))(1≤i≤n) = n*k-∑(i*(k/i))(1≤i≤n) 。

这里注意到对于某一个k/i=x的x，能够满足条件i必然是连续的一段。

那么就可以分块来做。

对于每个i=last+1，总有last'=min(n,k/(k/i))，满足在且仅在[i,last']区间内的值j符合k/j=k/i。

然后用一下等差数列求和公式快速求出i~last'的和，再乘上k/i加到答案中即可。

#include <cstdio>
#define min(a , b) a < b ? a : b;
int main()
{
	long long n , k , i , last , ans = 0;
	scanf("%lld%lld" , &n , &k);
	if(n > k) ans = (n - k) * k , n = k;
	ans += n * k;
	for(i = 1 ; i <= n ; i = last + 1)
	{
		last = min(n , k / (k / i));
		ans -= (k / i) * (i + last) * (last - i + 1) / 2;
	}
	printf("%lld\n" , ans);
	return 0;
}