AtCoder ABC 127E Cell Distance

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc127/tasks/abc127_e

题目大意

　　给定一个$N*M$的棋盘，二元组$(x, y)，1 \leq x \leq N，1 \leq y \leq M$，表示棋盘上的某一个位置，现在要在棋盘上选 K 个不同的位置，记为$(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_K, y_K)$，选择的相应代价为$\sum_{i=1}^{K-1} \sum_{j=i+1}^K (|x_i - x_j| + |y_i - y_j|)$，输出所有可能方案的代价总和。

分析

　　首先不难发现，x 和 y 是可以分开计算的，所以只需要求$\sum_{i=1}^{K-1} \sum_{j=i+1}^K |x_i - x_j|$即可，同理可计算$\sum_{i=1}^{K-1} \sum_{j=i+1}^K |y_i - y_j|$。

　　假如我们固定棋盘上 2 个位置$x_{i_1, j_1}, x_{i_2, j_2}$不动，在这种情况下，有$\tbinom{N*M-2}{K-2}$种选择方案，换句话说就是$|x_{i_1, j_1} - x_{i_2, j_2}|$出现了$\tbinom{N*M-2}{K-2}$次。

　　但枚举所有点对无疑是要超时的，为此我们可以枚举$d = |x_{i_1, j_1} - x_{i_2, j_2}|$，$d \in [1, K - 1]$。

　　可以先找找规律，当 d == 1 时，看看有多少对$(x_{i_1, j_1}, x_{i_2, j_2})$是满足的。

　　可以发现，只要两个点纵坐标差值为1，就都满足。

　　于是当 d == 1 时，有$M^2 * (N - 1)$种$(x_{i_1, j_1}, x_{i_2, j_2})$满足$d == |x_{i_1, j_1} - x_{i_2, j_2}|$。

　　以此类推，可以找出规律：对于每个 d，都有$d * M^2 * (N - d)$种$(x_{i_1, j_1}, x_{i_2, j_2})$满足$d == |x_{i_1, j_1} - x_{i_2, j_2}|$。

　　那么对于每个 d，它对答案的贡献就为$\tbinom{N*M-2}{K-2} * d * M^2 * (N - d)$。

　　把所有的累加起来即可。

代码如下

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)

 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl

 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))

 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
 #define INS(x) inserter(x,x.begin())

 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))

 #define MP make_pair
 #define PB push_back
 #define ft first
 #define sd second

 template<typename T1, typename T2>
 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
     in >> p.first >> p.second;
     return in;
 }

 template<typename T>
 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
     for (auto &x: v)
         in >> x;
     return in;
 }

 template<typename T1, typename T2>
 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
     return out;
 }

 inline int gc(){
     static const int BUF = 1e7;
     static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;

     if(bg == ed) fread(bg = buf, , BUF, stdin);
     return *bg++;
 } 

 inline int ri(){
     int x = , f = , c = gc();
     for(; c<||c>; f = c=='-'?-:f, c=gc());
     for(; c>&&c<; x = x* + c - , c=gc());
     return x*f;
 }

 typedef long long LL;
 typedef unsigned long long uLL;
 typedef pair< double, double > PDD;
 typedef pair< int, int > PII;
 typedef pair< string, int > PSI;
 typedef set< int > SI;
 typedef vector< int > VI;
 typedef vector< PII > VPII;
 typedef map< int, int > MII;
 typedef pair< LL, LL > PLL;
 typedef vector< LL > VL;
 typedef vector< VL > VVL;
 const double EPS = 1e-;
 const LL inf = 0x7fffffff;
 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
 const LL mod = 1e9 + ;
 const int maxN = 2e5 + ;
 const LL ONE = ;
 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
 const LL oddBits = 0x5555555555555555;

 LL fac[maxN];
 void init_fact() {
     fac[] = ;
     For(i, , maxN - ) {
         fac[i] = (i * fac[i - ]) % mod;
     }
 }

 //ax + by = gcd(a, b) = d
 // 扩展欧几里德算法
 /**
  *    a*x + b*y = 1
  *    如果ab互质，有解
  *    x就是a关于b的逆元
  *    y就是b关于a的逆元
  *
  *    证明：
  *        a*x % b + b*y % b = 1 % b
  *        a*x % b = 1 % b
  *        a*x = 1 (mod b)
  */
 inline void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
     if (!b) {d = a, x = , y = ;}
     else{
         ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
         y -= x * (a / b);
     }
 }

 // 求a关于p的逆元，如果不存在，返回-1
 // a与p互质，逆元才存在
 inline LL inv_mod(LL a, LL p = mod){
     LL d, x, y;
     ex_gcd(a, p, x, y, d);
     return d ==  ? (x % p + p) % p : -;
 }

 inline LL comb_mod(LL m, LL n) {
     LL ret;
     if(m > n) swap(m, n);
     ret = (fac[n] * inv_mod(fac[m], mod)) % mod;
     ret = (ret * inv_mod(fac[n - m], mod)) % mod;
     return ret;
 }

 void add_mod(LL &a, LL b) {
     a = (a + b) % mod;
     if(a < ) a += mod;
 }

 int N, M, K;
 LL ans;

 int main(){
     INIT();
     init_fact();
     cin >> N >> M >> K;
     LL cnt = comb_mod(K - , N * M - );

     ForLL(d, , N - ) add_mod(ans, cnt * ((d * M * M * (N - d)) % mod));
     ForLL(d, , M - ) add_mod(ans, cnt * ((d * N * N * (M - d)) % mod));
     cout << ans << endl;
     return ;
 }