【JZOJ4905】【BZOJ4720】【luoguP1850】换教室

description

对于刚上大学的牛牛来说,他面临的第一个问题是如何根据实际情况申请合适的课程。在可以选择的课程中,有2n节课程安排在n个时间段上。在第i(1≤i≤n)个时间段上,两节内容相同的课程同时在不同的地点进行,其中,牛牛预先被安排在教室ci上课,而另一节课程在教室di进行。在不提交任何申请的情况下,学生们需要按时间段的顺序依次完成所有的n节安排好的课程。如果学生想更换第i节课程的教室,则需要提出申请。若申请通过,学生就可以在第i个时间段去教室di上课,否则仍然在教室ci上课。由于更换教室的需求太多,申请不一定能获得通过。通过计算,牛牛发现申请更换第i节课程的教室时,申请被通过的概率是一个已知的实数ki,并且对于不同课程的申请,被通过的概率是互相独立的。学校规定,所有的申请只能在学期开始前一次性提交,并且每个人只能选择至多m节课程进行申请。这意味着牛牛必须一次性决定是否申请更换每节课的教室,而不能根据某些课程的申请结果来决定其他课程是否申请;牛牛可以申请自己最希望更换教室的m门课程,也可以不用完这m个申请的机会,甚至可以一门课程都不申请。因为不同的课程可能会被安排在不同的教室进行,所以牛牛需要利用课间时间从一间教室赶到另一间教室。牛牛所在的大学有v个教室,有e条道路。每条道路连接两间教室,并且是可以双向通行的。由于道路的长度和拥堵程度不同,通过不同的道路耗费的体力可能会有所不同。当第i(1≤i≤n-1)节课结束后,牛牛就会从这节课的教室出发,选择一条耗费体力最少的路径前往下一节课的教室。现在牛牛想知道,申请哪几门课程可以使他因在教室间移动耗费的体力值的总和的期望值最小,请你帮他求出这个最小值。

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analysis

• 这种脑残预处理当然弗洛伊德

• 考虑\(DP\)，设\(f[i][j][0/1]\)表示到选完第\(i\)节课、共申请\(j\)次、第\(i\)节课是否申请的最小期望体力值和

• 对于\(f[i][j][0]\)，可以由两种状态转移取最小值

• 前一节课不申请，即\(f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]]\)

• 若前一节课申请，即\(f[i-1][j][1]+dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])\)

• 中间的两个期望是什么呢，

• 对于前一节课，有可能申请成功上次走到\(d[i-1]\)，那么还要加上这条路径的期望

• 若前一节课申请失败，那么仍从\(c[i-1]\)走过来，也加上路径的期望

• 那么对于\(f[i][j][1]\)同理，即如果申请\(i-1\)节课成功或失败路径都要乘上\(i-1\)的成功或失败概率

• 转移到\(i\)也要考虑申请\(i\)的成功或者失败的概率，\(O(nm)\)转移就好

• 关于概率和线性相加还要多做一点题

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXV 305
#define MAXN 2005
#define db double
#define ll long long
#define reg register ll
#define ha 19260817
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll dis[MAXV][MAXV];
ll c[MAXN],d[MAXN];
db f[MAXN][MAXN][2];
db k[MAXN],ans=ha;
ll n,m,v,e;

inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
inline ll max(ll x,ll y){return x>y?x:y;}
inline ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
inline db minn(db x,db y){return x<y?x:y;}
int main()
{
	//freopen("P1850.in","r",stdin);
	//freopen("classroom.in","r",stdin);
	//freopen("classroom.out","w",stdout);
	memset(dis,1,sizeof(dis));
	n=read(),m=read(),v=read(),e=read();
	fo(i,1,n)c[i]=read();fo(i,1,n)d[i]=read();
	fo(i,1,n)scanf("%lf",&k[i]);
	fo(i,1,v)dis[i][i]=0;
	fo(i,1,e)
	{
		ll x=read(),y=read(),z=read();
		dis[x][y]=min(dis[x][y],z),dis[y][x]=min(dis[y][x],z);
	}
	fo(l,1,v)fo(i,1,v)if (i!=l)fo(j,1,v)if (i!=j && j!=l)
	dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][l]+dis[l][j]);
	fo(i,0,n)fo(j,0,m)f[i][j][0]=f[i][j][1]=ha;
	f[1][0][0]=f[1][1][1]=0;
	fo(i,2,n)fo(j,0,min(i,m))
	{
		f[i][j][0]=minn(f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]],
		f[i-1][j][1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])+dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]);
		if (j)
		f[i][j][1]=minn(f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][d[i]]*k[i]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i]),
		f[i-1][j-1][1]+dis[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i]+dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]*(1-k[i])+
		dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i])+dis[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i]);
	}
	fo(i,0,m)ans=minn(ans,minn(f[n][i][0],f[n][i][1]));
	printf("%.2lf\n",ans);
	return 0;
}