「USACO08JAN」电话线Telephone Lines 解题报告

题面

大意：在加权无向图上求出一条从 \(1\) 号结点到 \(N\) 号结点的路径，使路径上第 \(K + 1\) 大的边权尽量小。

思路：

由于我们只能直接求最短路，不能记录过程中的具体的边——那样会特别麻烦

所以，我们就尝试着去想更优的办法

题目中所说，能够免去 \(K\) 条边的费用，那么对于要建设的边中，肯定免去费用最大 $K $ 条边更优

我们关注的应该是第 \(K+1\) 大边的边权，因为其他边权大于这条边边权的边都会被略去

这条边可以枚举吗？

似乎不行，枚举的复杂度还要在最短路的基础上，乘上一个 \(M\) ，不就TLE（Time Limit Enough）了吗……

那么——对于这个边的边权，能不能二分呢？

首先，二分需要满足单调性

题目中，这条第 \(K+1\) 大的边边权越小，能够满足的情况越少，反之亦然

因此我们可以使用二分的方法来查找答案

怎么判断满足或不满足

对于边权大于 \(mid\) 的边，我们改变它的边权为1，否则为0，然后再跑最短路，这样得出来的结果应该是从 \(1\) 号结点到 $N $ 号结点至少要有几条大于 \(mid\) 的边，然后与 \(K\) 比较，小于 \(K\) 则满足，否则不满足

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x7f7f7f7f
#define M 10010
#define N 1010
using namespace std;
struct node{
	int to,cost;
	int nxt;
	node(int a,int b):to(a),cost(b){	}
	node(){	}
}b[M<<1];
int head[N],d[N],vis[N];
int n,m,res,t,ans=INF;//初值一样要为INF
int read()
{
	int s=0;
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c))
		c=getchar();
	while(isdigit(c))
	{
		s=(s<<1)+(s<<3)+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return s;
}
void add(int x,int y,int cost)//建边，正反一起
{
	b[++t]=node(y,cost);
	b[t].nxt=head[x];
	head[x]=t;
	b[++t]=node(x,cost);
	b[t].nxt=head[y];
	head[y]=t;
	return;
}
bool BFS(int k)//好吧，这里不算严格的最短路，因为边权变成了0和1，可以直接宽搜搞定，但是下面的程序，
{//明明是一个真SPFA，假宽搜
	int i,to,cur,cost;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		d[i]=INF;
		vis[i]=0;
	}
	queue<int>p;
	p.push(1);
	vis[1]=1;
	d[1]=0;
	while(!p.empty())
	{
		cur=p.front();p.pop();
		vis[cur]=0;
		for(i=head[cur];i;i=b[i].nxt)
		{
			to=b[i].to;
			cost=d[cur]+(b[i].cost>k);//处理边权
			if(cost<d[to])
			{
				d[to]=cost;
				if(!vis[to])
				{
					vis[to]=1;
					p.push(to);
				}
			}
		}
	}
	if(d[n]<=res)//判断
		return 1;
	return 0;
}
int main()
{
	int i;
	int x,y,cost;
	int l,r,mid;
	n=read();m=read();res=read();
	l=r=0;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		x=read();y=read();cost=read();
		add(x,y,cost);//建边，注意是双向的
		r=max(r,cost);//r的上限，可以自己赋为1e6，这是题目中给的最大值
	}
	while(l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if(BFS(mid))//判断
		{
			ans=mid;
			r=mid-1;
		}
		else
			l=mid+1;
	}
	if(ans==INF)//初值应该为INF，不能为0，因为有可能电信公司比较大方，免费之类的——给我多好
		ans=-1;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

另外提供一个比较high的评测

在洛谷过了，这里不一定过哦！