「CSP-S模拟赛」2019第一场

目录

• T1 小奇取石子
  • 题目
  • 考场思路
  • 正解
• T2 「CCO 2017」专业网络
  • 题目
  • 考场思路
  • 题解
• T3 「ZJOI2017」线段树
  • 题目
  • 考场思路
  • 正解

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这场考试感觉很奇怪。

\(T1、T2\) 都缺一个小特判。

\(T3\) 打了个比暴力优的暴力 还是暴力，但是不知道为什么 \(WA\) 穿了。

考试的时候还玩扫雷...

其实，菜是原罪啊...

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T1 小奇取石子

题目

点这里

考场思路

刚开始差点被自己坑了，开考 \(5min\) 就码出了一个可以惨痛爆零的 \(01\) 背包。

结果还好的是交卷前几分钟自己出了个小数据卡掉自己，然后就码出一个 \(80pts\) 的代码。

首先根据数据将方法分开。

对于 \(A、B\) 两组数据，很明显暴力都可以过，这个没有问题。

对于 \(C\) 组数据，定义 \(dp[i]\)：得到石子数为 \(i\) 时的最小选择石子堆。

状转见代码。

#include<cstdio>
#define rep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i<=i##_end_;++i)
#define dep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i>=i##_end_;--i)
#define cg (c=getchar())
inline int qread(){
	int x=0,f=1;char c;
	while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
	for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	return x*f;
}
template<class T>inline void qread(T& x){
	x=0;char c;bool f=0;
	while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
	for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	if(f)x=-x;
}
template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);}
#undef cg
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}

const int MAXN=200;
const int MAXK=2500;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int n,m,k,a[MAXN+5],maxx;
int dp[MAXK+5];

inline void init(){
	qread(n,m,k);
	for(int i=1;i<=n;++i)qread(a[i]);
}

void dfs(const int i,const int x,const int w){
	if(w>k||x>m)return;
	maxx=Max(maxx,w);
	if(i>n)return;
	dfs(i+1,x+1,w+a[i]);
	dfs(i+1,x,w);
}

inline void getDp(){
	rep(i,1,k)dp[i]=INF;
	rep(i,1,n)rep(j,a[i],k)dp[j]=Min(dp[j],dp[j-a[i]]+1);
	dep(i,k,1)if(dp[i]<=m){maxx=i;break;}
}

signed main(){
	// freopen("stone.in","r",stdin);
	// freopen("stone.out","w",stdout);
	init();
	if(n<=20)dfs(1,0,0);
	else getDp();
	printf("%d\n",maxx);
	return 0;
}

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正解

其实就是我的考场代码改个细节，为了保存上一个 \(i\) 的状态，\(j\) 应该从大到小枚举。

不知道我考场的时候脑子 what 了，这个细节都打错了...

#include<cstdio>
#define rep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i<=i##_end_;++i)
#define dep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i>=i##_end_;--i)
#define cg (c=getchar())
inline int qread(){
	int x=0,f=1;char c;
	while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
	for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	return x*f;
}
template<class T>inline void qread(T& x){
	x=0;char c;bool f=0;
	while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
	for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	if(f)x=-x;
}
template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);}
#undef cg
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}

const int MAXN=200;
const int MAXK=2500;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int n,m,k,a[MAXN+5],maxx;
int dp[MAXK+5];

inline void init(){
	qread(n,m,k);
	for(int i=1;i<=n;++i)qread(a[i]);
}

void dfs(const int i,const int x,const int w){
	if(w>k||x>m)return;
	maxx=Max(maxx,w);
	if(i>n)return;
	dfs(i+1,x+1,w+a[i]);
	dfs(i+1,x,w);
}

inline void getDp(){
	rep(i,1,k)dp[i]=INF;
	rep(i,1,n)dep(j,k,a[i])dp[j]=Min(dp[j],dp[j-a[i]]+1);
	dep(i,k,1)if(dp[i]<=m){maxx=i;break;}
}

signed main(){
	// freopen("stone.in","r",stdin);
	// freopen("stone.out","w",stdout);
	init();
	if(n<=20)dfs(1,0,0);
	else getDp();
	printf("%d\n",maxx);
	return 0;
}

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T2 「CCO 2017」专业网络

题目

点这里

考场思路

所谓信息竞赛，其实就是面向数据编程

看看数据范围，发现前两组很好骗分，然后就可以对于这两组数据进行骗分了...

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i<=i##_end_;++i)
#define dep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i>=i##_end_;--i)
using namespace std;
#define cg (c=getchar())
inline int qread(){
	int x=0,f=1;char c;
	while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
	for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	return x*f;
}
template<class T>inline void qread(T& x){
	x=0;char c;bool f=0;
	while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
	for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	if(f)x=-x;
}
template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);}
#undef cg
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}

const int MAXN=2e5;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int N,maxb,ans=INF;
struct node{
	int a,b;
	inline void input(){qread(a,b);if(a==0)b=0;}
	node(){}
	node(const int A,const int B):a(A),b(B){}
	bool operator<(const node t){return b==t.b?a<t.a:b<t.b;}
}p[MAXN+5];

inline void init(){
	qread(N);
	rep(i,1,N)p[i].input(),maxb=Max(maxb,p[i].b);
}

inline void dfs30(const int,const int,const int);
inline bool cmp30(const node _x,const node _y){
	return _x.a==_y.a?_x.b<_y.b:_x.a<_y.a;
}
inline void pts30(){
	sort(p+1,p+N+1,cmp30);
	dfs30(0,0,0);
}

inline void dfs30(int tot,int state,const int cost){
	if(tot==N)return (void)(ans=Min(ans,cost));
	if(cost>ans)return;

	rep(i,1,N)if(!(state&(1<<(i-1)))&&tot>=p[i].a)++tot,state|=(1<<(i-1));

	if(tot==N)return (void)(ans=Min(ans,cost));

	rep(i,1,N)if(!(state&(1<<(i-1))))
		dfs30(tot+1,state|(1<<(i-1)),cost+p[i].b);
}

inline bool cmp15(const node _x,const node _y){
	return _x.a>_y.a;
}
inline void pts15(){
	sort(p+1,p+N+1,cmp15);
	int l=1,r=N,tot=0;ans=0;
	while(l<=r){
		while(p[r].a<=tot)--r,++tot;
		if(r<l)break;
		if(p[l].a>tot)++ans;
		++l,++tot;
	}
}

signed main(){
	// freopen("network.in","r",stdin);
	// freopen("network.out","w",stdout);
	init();
	if(maxb==1)pts15();
	else pts30();
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

题解

其实，这道题跟 《信息奥赛一本通》中的不守交规 有异曲同工之妙。——\(\text{JZM}\) 大佬

首先，我们跟每一个人建立友谊关系的状态肯定唯一。

假如我们跟 \(i\) 交朋友之前，我们已经交了 \(j\) 个朋友。

那么，肯定不存在 \(k(k\neq i)\) 使得我们在与 \(k\) 交朋友之前已经交了 \(j\) 个朋友。

所以，我们的 \(j\) 可以取 \([0,N-1]\) 之中的数。

那么，我们只需要在交这 \(N\) 个朋友的时候，将他们对应到这 \([0,N-1]\) 的 \(N\) 个数中去即可。

而如果 \(i\) 是不用花费的，那么它的对应值一定在 \([A_i,N-1]\) 中的一个数。

贪心地，我们首先要满足那些 \(B_i\) 较大的数，这样我们的花费就会尽可能的少。

而为了让区间能够对应的数尽可能多，我们的搜索需要从 \(A_i\) 开始枚举。

而对于一个 \(i\)，如果在 \([A_i,N-1]\) 中已经没有数没有被对应到，那么它就一定需要支付费用。

那么这一段的代码也就很好写了

for(int i=1,loc;i<=N;++i){
	bool f=true;
	for(int j=p[i].a;j<N;++j)if(!vis[j]){
		vis[j]=true,f=false;
		break;
	}
	if(!f)ans+=p[i].b;
}

然而这是 \(O(N^2)\) 的算法，它最多只能得到 \(60pts\)，因此我们需要用到并查集优化。

时间复杂度接近于 \(O(N)\)，我省掉了反阿克曼函数，它增长地太慢了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i<=i##_end_;++i)
#define dep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i>=i##_end_;--i)
using namespace std;
#define cg (c=getchar())
inline int qread(){
	int x=0,f=1;char c;
	while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
	for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	return x*f;
}
template<class T>inline void qread(T& x){
	x=0;char c;bool f=0;
	while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
	for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	if(f)x=-x;
}
template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);}
#undef cg
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}

const int MAXN=2e5;

int N,ans,pre[MAXN+5];bool vis[MAXN+5];
struct node{
	int a,b;
	inline void input(){qread(a,b);}
	node(){}
	node(const int A,const int B):a(A),b(B){}
	bool operator<(const node t){return b==t.b?a<t.a:b>t.b;}
}p[MAXN+5];

inline void init(){
	qread(N);
	for(int i=1;i<=N;++i)p[i].input();
	sort(p+1,p+N+1);
}

inline int findSet(const int u){
	return u==pre[u]?u:pre[u]=findSet(pre[u]);
}

inline void calc(){
	for(int i=1;i<=N;++i)pre[i]=i;
	for(int i=1,loc;i<=N;++i){
		loc=findSet(p[i].a);
		if(loc>=N)ans+=p[i].b;
		else pre[loc]=loc+1;
	}
}

signed main(){
	init();
	calc();
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

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T3 「ZJOI2017」线段树

题目

点这里

考场思路

考试的时候，我想到一种时间复杂度只有 \(O(nm)\) 的暴力算法 虽然还是暴力，但是时间少了点

但是我没有仔细思考其正确性。

大致思路是这样的：

在询问区间 \([l,r]\) 的时候，假如有某一段区间 \([l',r']\) 与 \(u\) 不在大树的同一棵子树上，那么就计算区间 \([l',r']\) 的贡献。

但是这样做有问题，假若区间 \([l',r'']\) 被包含于 \([l,r]\) ，并且 \(r'\) 与 \(r''\) 不在同一棵子树内，那么我的算法就会使得答案 \(ans\) 变大。

因为这样做会使我寻找的可以被拼成区间 \([l,r]\) 的点变多，自然而然，\(ans\) 也就变大了。

附个代码

#include<cstdio>
#define rep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i<=i##_end_;++i)
#define dep(i,__l,__r) for(int i=__l,i##_end_=__r;i>=i##_end_;--i)
#define cg (c=getchar())
inline int qread(){
	int x=0,f=1;char c;
	while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
	for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	return x*f;
}
template<class T>inline void qread(T& x){
	x=0;char c;bool f=0;
	while(cg<'0'||'9'<c)if(c=='-')f=-1;
	for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
	if(f)x=-x;
}
template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);}
#undef cg
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}

const int MAXN=2e5;

struct node{
	int l,r,mid,d,lc,rc;
	node(){lc=rc=0;}
	node(const int L,const int R,const int M,const int D):l(L),r(R),mid(M),d(D){lc=rc=0;}
}tre[(MAXN<<1)+5];

int N,q,ncnt,ans;
int s[(MAXN<<1)+5],tail;

inline int buildtre(const int pre,const int l,const int r,const int d){
	int now=++ncnt;
	if(l==r)return tre[now]=node(l,r,0,d),now;
	tre[now]=node(l,r,qread(),d);
	tre[now].lc=buildtre(now,l,tre[now].mid,d+1);
	tre[now].rc=buildtre(now,tre[now].mid+1,r,d+1);
	return now;
}

inline void init(){
	qread(N);
	buildtre(0,1,N,1);
}

void getNode(const int i,const int l,const int r){
	if(l<=tre[i].l&&tre[i].r<=r)return (void)(s[++tail]=i);
	if(l<=tre[i].mid)getNode(tre[i].lc,l,r);
	if(r>tre[i].mid)getNode(tre[i].rc,l,r);
}

inline void calc(const int lca,const int u){
	while(tail>0)ans+=tre[s[tail--]].d+tre[u].d-2*tre[lca].d;
}

void algor(const int i,const int u,const int l,const int r){

	// printf("algor : %d %d %d %d\n",i,u,l,r);

	if(u==i){
		getNode(i,l,r);
		calc(i,i);
		return;
	}

	if(tre[i].lc<=u&&u<tre[i].rc&&r<=tre[i].mid)algor(tre[i].lc,u,l,r);
	else if(u>=tre[i].rc&&l>tre[i].mid)algor(tre[i].rc,u,l,r);
	//以上皆为同方向的子树时
	else{
		//在不同向
		//此时一定可以保证, i 即为他们的 lca
		if(u>=tre[i].rc&&l<=tre[i].mid){//当询问区间的 部分/全部 在左边, 点在右边时
			getNode(tre[i].lc,l,Min(tre[i].mid,r));
			calc(i,u);
			if(r>tre[i].mid)algor(tre[i].rc,u,tre[i].mid+1,r);
		}
		else if(tre[i].lc<=u&&u<tre[i].rc&&r>tre[i].mid){//当询问区间的 部分/全部 在右边, 点在左边时
			getNode(tre[i].rc,Max(tre[i].mid+1,l),r);
			calc(i,u);
			if(l<=tre[i].mid)algor(tre[i].lc,u,l,tre[i].mid);
		}
		/*
		else if(u==i){//当点就是当前的点的时候, 直接在其子树中寻找区间的点进行计算
			getNode(i,l,r);
			calc(i,i);
		}
		*/
	}
}

inline void getQuery(){
	int q=qread(),u,l,r;
	while(q--){ans=0;
		qread(u,l,r);
		algor(1,u,l,r);
		printf("%d\n",ans);
	}
}

signed main(){
	// freopen("0.in","r",stdin);
	// freopen("tree.out","w",stdout);
	init();
	// puts("finished input!");
	getQuery();
	return 0;
}

---

正解

一道编码较为困难的数据结构题。

首先，我们解决询问的区间的问题。

看下面这张图



其实这个就是题目描述里面的那张图。

假设我们需要访问区间 \([2,4]\)，应该怎么做呢？

方法一

你可以肉眼看...虽然这样好像不能交到 \(OJ\) 上去...

但是我们可以看出我们要找的节点是 \((2-3)\) 与 \((4-4)\)。

方法二

使用类似于普通线段树的方法进行区间查找，这样的复杂度对于这样的广义线段树来说大概是 \(O(n)\) 的。

方法三

可以用类似于 \(\text{zkw}\) 线段树 的方式。

我们要访问区间 \([2,4]\) ，那么左边从 \((1-1)\) 开始，右边从 \((5-5)\) 开始，一起往上爬。

如果左边点往上爬，发现它是父亲节点的左儿子，那么其父节点的右儿子是一定是我们要找的点。

如果右边点往上爬，发现他是父节点的右儿子，那么其父节点的左儿子是一个是我们要找的点。

大概搜索的结果就是

其中，被红色笔圈起来的点是我们要特殊注意的，而蓝色下划线是我们要取到的点。

那么这样做的时间复杂度？不用说，\(O(n)\)。

---

先把这些方法放在一边，看一看我们需要求什么。

题目似乎给出$$ans=\sum_{v\in S[l,r]}dis(u,v)$$令 \(d[u]\)：点 \(u\) 的深度。

我们可以将 \(dis(u,v)\) 换成用 \(lca\) （时间复杂度 \(O(logn)\) 左右，不要忽略了）来表示，那么就有$$ans=\sum_{v\in S[l,r]}d[u]+d[v]-2\cdot d[lca(u,v)]$$假设我们最后可以处理出，我们找到的满足 \(v\in S[l,r]\) 的点共有 \(t\) 个，那么这个公式可以再展开：$$ans=t\cdot d[u]+\sum_{v\in S[l,r]}d[v]-\sum_{v\in S[l,r]}2\cdot d[lca(u,v)]$$然而这个式子似乎再也不能往下化简了。

---

我们再往回看，我们已分析出的两种方法 人为忽略第一种

假若我们用 方法二 ，那么我们似乎并不能做什么优化，只有用标准的线段树做法，时间复杂度还是 \(O(n)\)。

假若我们用 方法三 ，那么我们似乎可以用树上差分。

怎么个差分法呢？

记录一下每个点的信息

• \(tls[u]\)：从根到 \(u\) 一共有多少左儿子是没有经过的
• \(trs[u]\)：从根到 \(u\) 一共有多少右儿子是没有经过的
• \(tdls[u]\)：从根到 \(u\) 一共没见过的左儿子的深度之和
• \(tdrs[u]\)：从根到 \(u\) 一共没见过的右儿子的深度之和

那么我们怎么求以上内容呢？

可以在建树的时候顺便处理出来。

假设我们有一个点 \(fa\)，其深度为 \(d\)，它的左儿子是 \(lc\),右儿子是 \(rc\)。

那么，若 \(rc\) 存在，且 \(lc\) 存在，则满足

\[trs[lc]=trs[fa]+1,tdrs[lc]=tdrs[fa]+(d+1),tls[lc]=tls[fa],tdls[lc]=tdls[fa]$$而若 $rc$ 不存在，则有
$$trs[lc]=trs[fa],tdrs[lc]=tdrs[fa],tls[lc]=tls[fa],tdls[lc]=tdls[fa]$$如果 $lc$ 存在，且 $rc$ 存在，则满足
$$trs[rc]=trs[fa],tdrs[rc]=tdrs[fa],tls[rc]=tls[fa]+1,tdls[rc]=tdls[fa]+(d+1)$$然后，我们就可以在建树，或者是输入建树时预处理出以上内容即可。
接着之前说的**树上差分**。
假若我们要求区间 $[a,b]$ ，那么我们就从 $(a-1,a-1)$ 与 $(b+1,b+1)$ 开始往上爬。
找到它们的最近公共祖先 $lca$，那么我们**要求的公式**中的 $t、\sum_{v\in S[l,r]}d[v]$ 都可以用树上差分解决。
即 $t$ 满足
$$t=trs[leafu[a-1]]-trs[lca]+tls[leafu[b+1]]-tls[lca]$$$\sum_{v\in S[l,r]}d[v]$ 满足
$$\sum_{v\in S[l,r]}d[v]=tdrs[leafu[a-1]]-tdrs[lca]+tdls[leafu[b+1]]-tdls[lca]$$似乎以上部分都是可以使用 $O(log)$ （寻找 $lca$）来 $O(1)$ 地解决问题，但是 $ans$ 还有一个部分：
$$-\sum_{v\in S[l,r]}2\cdot d[lca(u,v)]$$这个部分能否使用树上差分呢？
答案是：肯定不行。
为什么？因为 $v$ 在改变时，$lca(u,v)$ 也在跟着改变。
那么怎么做？
分类讨论 $u$ 的位置，这里就和我的暴力思路有点相像。
分以下几类：
先假设以 $leafu[a-1]、leafu[b+1],lca$ 围成的树为 $tre$。
令 $flca()$ 为寻找 $lca$ 的算法。

- $u$ 在 $tre$ 之外时。这样又要分两类
- 当 $u$ 是 $lca$ 的祖先，那么一定满足$$\forall v\in S[l,r],flca(u,v)=u\]

	- 当 $u$ 不是 $lca$ 的祖先，那么一定满足$$\forall v\in S[l,r],flca(u,v)=lca(lca,u)$$

• \(u\) 在 \(tre\) 之内时，对于这种情况需要自行推理。。。

---

另注：

可以发现，如果我们就这样建树的话，如果询问区间 \([1,n]\) 之类的区间就会出现问题，那么怎么解决？其实可以这样建图（以题目的树为例）



代码

没时间补题啊