CF#462 div1 D：A Creative Cutout

题目大意：

原网址戳我！

题目大意：

在网格上任选一个点作为圆中心，然后以其为圆心画$m$个圆。

其中第$k$个圆的半径为$\sqrt{k}$,$m$个圆的编号依次为$1$~$m$。

定义一个格点的美妙值$g(x,y)$为包含了它的所有圆的编号之和。

定义$f(n)$为：当画了$n$个圆时，$f(n) = \sum_{i,j\in R} g(i,j)$。

现在非常变态的问你一个非常无聊的恶心问题：

给定一个$m$($m\leq 10^{12}$)，请计算$ans = \sum_{i = 1}^m f(i)\ mod\ 1000000007$

样例与样例解释

样例输入输出

$Input$：5

$Output$：387

样例说明：

样例中，当$n = 5$时圆的分布情况如下图所示：

当$n = 5$时，如图

有$5$个红色的点被圆1、2、3、4、5包含，它们的$r = \sum_{i = 1}^5 i = 15$

有$4$个橘色的点被圆2、3、4、5包含，它们的$r = \sum_{i = 2}^5 i = 14$

有$4$个绿色的点被圆4、5包含，它们的$r = \sum_{i = 4}^5 i = 9$

有$8$个蓝色的点被圆5包含，它们的$r = 5$

剩下的灰色的点则不被任意一个圆包含，它们的$r = 0$

综上，$f(5) = 5\times 15 + 4\times 14 + 4\times 9 + 8\times 5 = 207$

同理可得$f(1)$=$5$、$f(2)$=$23$、$f(3)$=$50$、$f(4)$=$102$。

所以当$m = 5$时， $ans = \sum_{i = 1}^5 f(i) = 5+23+50+102+207 = 387$

解法与思路

这TM比 $E$题还要难好多好吗？

这里方便叙述我们以圆心为原点建立坐标轴。

对于一个$f(n)$，我们可以计算出每一个坐标的贡献：

$res_n = \sum_{k = x^2 + y^2} ^ n k = \frac{(n+(x^2+y^2))(n-(x^2+y^2)+1)}{2}=\frac{n(n+1) - (x^2+y^2)(x^2+y^2-1)}{2}$

转换一下得到：$res = \binom{n+1}{2} - \binom{x^2+y^2}{2}$

令$L = x^2 + y^2$，则每一个$L$的答案的贡献为：

$Res_L = \sum_{k = L}^m (\binom{k+1}{2} - \binom{x^2+y^2}{2}) = \sum_{k = L}^m \binom{k+1}{2} - (m - L +1)\binom{L}{2}$

然后这里有一个组合公式( 提示 )：

公式：$\sum_{k = L}^R \binom{k}{w} = \binom{R+1}{w+1} - \binom{L}{w+1}$

用归纳法证明：

当$L = R = 1$时，$\sum_{k=1}^1\binom{1}{1} = \binom{2}{2} - \binom{1}{2} = 1$成立。

$\sum_{k = L}^{R+1}\binom{k}{w} = \binom{R+1}{w}+\sum_{k=L}^R\binom{k}{w} = [\binom{R+1}{w+1}+ \binom{R+1}{w}] - \binom{L}{w+1}$

由组合数的计算公式可得$\binom{R+1}{w+1}+ \binom{R+1}{w} = \binom{R+2}{w+1}$

所以$\sum_{k = L}^{R+1} \binom{k}{w} = \binom{R+2}{w+1} - \binom{L}{w+1}$依旧成立。

同理可以证明$L$变化到$L+1$此结论任符合。

综上：$\sum_{k = L}^R \binom{k}{w} = \binom{R+1}{w+1} - \binom{L}{w+1}$

我们套用这个公式：

$Res_L = \binom{m+2}{3} - \binom{L+1}{3} - (m-L+1)\binom{L}{2}$

$Res_L = \frac{1}{6}(\frac{(m+2)!}{(m-1)!} - \frac{(L+1)!}{(L-2)!} - (m-L+1)\frac{3L!}{(L-2)!})$

暴力化简一顿之后得到：

\[Res_L = \frac{1}{6}[\ 2L^3-3(m+2)L^2+(3m+4)L+m(m+1)(m+2)\ ]
\]

嗯，一个关于$L$的多项式。

考虑一下枚举$x^2$ 与 $y^2$的话：

令$L = x^2 + y^2$的话，带入原式中可以得到：

$Res_L = \frac{1}{6}($

$\ \ \ \ \ 2*y^6+$

$\ \ \ \ (6x^2-(3m+6))*y^4+$

$\ \ \ \ (6x^4-2(3m+6)x^2+(3m+4))*y^2+$

$\ \ \ \ (2x^6-(3m+6)x^4+(3m+4)x^2+(m)(m+1)(m+2))*y^0$

$)$

等于说，我们如果枚举了$x$，那么上面除$y$以外其它的都是系数(常数)。

我们把它命名为一个关于$y$的函数$S_x(y)$，那么答案可以写为：

\[Ans = \frac{1}{6}\sum_{x \in Z }^{x^2 \leq m}\ \sum_{y\in Z}^{y^2 \leq m - x^2} S_x(y)
\]

所以说，我们只需要枚举$x$，然后计算$\sum_{y\in Z}^{y^2 \leq m - x^2} S_x(y)$即可。

而$S_x(y)$中，我们只需要计算$y^2$、$y^4$、$y^6$即可。

然后对于上面这三项，我们单独算答案，可以直接套数学公式：

$\sum_{i=1}^{N}i^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

$\sum_{i=1}^{N}i^{4}=\frac{N(N+1)(2N+1)(3N^2+3N-1)}{30}$

$\sum_{i=1}^{N}i^{6}=\frac{N(N+1)(2N+1)(3N^4+6N^3-3N+1)}{42}$

求$\sum_{i=1}^N i^{2t}$的$O(1)$公式，用$(r+1)^{2t+1} - r^{2t+1}$变形即可得到。

枚举$x$只需要枚举$\sqrt{m}$次，所以总的复杂度为$O(\sqrt{m})$。

实现代码：

注意不要暴$int64$了!!

枚举$x$直接从$-\sqrt{m}$枚举到$\sqrt{m}$即可，省去讨论的麻烦。

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define MOD 1000000007

using namespace std;

ll mod(ll e){ e %= MOD; if(e < 0)e += MOD; return e; }

ll inv6 , inv30 , inv42;

ll f[5] , n , m , x , y , x2 , x4 , x6 , ans;

ll Pow(ll T , ll js , ll S){

	while(js){ if(js&1)S = mod(S * T);

	T = mod(T * T); js >>= 1; } return S;

}

ll sum(ll i , ll k){

	if(k == 0)return mod( 2*i + 1 );

	ll s0 = mod( 2 * mod( mod( i * (i+1) ) * mod(2*i + 1) ) );

	if(k == 2)return mod(inv6 * s0);

	ll t0 , t1 , t2 , t3 , t4;

	t0 = 1; t1 = i; t2 = mod(i * i); t3 = mod(t1 * t2); t4 = mod(t2 * t2);

	if(k == 4)return mod(inv30 * mod(s0 * mod( mod(3 * t2) + mod(3 * t1) - t0 )));

	if(k == 6)return mod(inv42 * mod(s0 * mod(mod(3*t4) + mod(6*t3) - mod(3*t1) + t0) ) );

}

int main(){

	ans = 0; cin >> m;  n = sqrt(m);

	f[0] = mod( mod(mod(m) * mod(m+1)) * mod(m+2) );  //注意这里别爆int64了！

	f[1] = mod( 3*m + 4 );

	f[2] = mod( -1 * (3*m + 6) );

	f[3] = 2;

	inv6 = Pow(6 , MOD - 2 , 1);

	inv30 = Pow(30 , MOD - 2 ,1);

	inv42 = Pow(42 , MOD - 2 , 1);

	for(ll x = -n; x <= n; x ++){

		y = sqrt(m - x * x);

		x2 = mod(x * x); x4 = mod(x2 * x2); x6 = mod(x2 * x4);

		ans = mod( ans + mod(f[3] * sum(y , 6)) );

		ans = mod( ans + mod( mod( mod(6 * x2) + f[2] ) * sum(y , 4) ) );

		ans = mod( ans + mod( mod(mod(6 * x4) + mod(mod(2 * f[2])*x2) + f[1]) * sum(y , 2)) );

		ans = mod( ans + mod(mod(f[3]*x6) + mod(f[2]*x4) + mod(f[1]*x2) + f[0]) * sum(y , 0) );

		ans = mod( ans );

	}

	ans = mod( ans * inv6 ); cout << ans; return 0;

}