【BZOJ2154】Crash的数字表格（莫比乌斯反演）

【BZOJ2154】Crash的数字表格（莫比乌斯反演）

题面

BZOJ

简化题意：

给定\(n,m\)

求$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}mlcm(i,j)$$

题解

以下的一切都默认\(n<m\)

我们都知道\(lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}\)

所以所求化简

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}
\]

看到\(gcd(i,j)\)很不爽，于是就再提出来

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]\frac{ij}{d}
\]

也就是

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]{ijd}
\]

把\(d\)提出来

\[ans=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]{ij}
\]

前面这一堆看起来管不了了

看后面的一段

\[\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]{ij}
\]

看到\(n/d\)这种东西很不爽呀

就写成这样吧。。

\[\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}[gcd(i,j)==1]{ij}
\]

这种东西怎么求？

令$$f(d)=\sum_{i=1}^{{x}\sum_{j=1}}{y}[gcd(i,j)==d]{ij}$$

根据莫比乌斯反演的常见套路

设

\[G(d)=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}[d|gcd(i,j)]{ij}
\]

直接把\(d\)提出来

\[G(d)=d^2\sum_{i=1}^{x/d}\sum_{j=1}^{y/d}[1|gcd(i,j)]{ij}
\]

\(1|gcd(i,j)\)是显然成立的

所以$$G(d)=d^2\sum_{i=1}{x/d}\sum_{j=1}^{y/d}{ij}$$

这玩意明显可以\(O(1)\)求（相当于两个等差数列相乘）

所以，要求的东西就是$$f(1)=\sum_{i=1}^x\mu(i)G(i)$$

这道题就解决了一大半了

现在我们的复杂度是\(O(n\sqrt n)\)与\(O(n^2)\)之间

需要继续优化

很显然的

\[ans=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]{ij}
\]

这个式子可以数论分块一波，复杂度少了\(O(\sqrt n)\)

还不够

继续看，

\[f(1)=\sum_{i=1}^x\mu(i)G(i)
\]

这个式子把\(G(x)\)展开

\[f(1)=\sum_{i=1}^x\mu(i)i^2\sum_{i=1}^{x/d}\sum_{j=1}^{y/d}{ij}
\]

还是可以数论分块

但是要预处理\(\mu(i)*i^2\)的前缀和

然后复杂度就成了\(O(n)\)啦

注释掉的是没用数论分块的式子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MOD 20101009
#define MAX 12000000
#define ll long long
inline int read()
{
    int x=0,t=1;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int mu[MAX],pri[MAX],tot;
bool zs[MAX];
int n,m;
int G[MAX],ans;
int smu[MAX],sqr[MAX];
void Getmu()
{
	zs[1]=true;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!zs[i]){pri[++tot]=i;mu[i]=-1;}
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else{mu[i*pri[j]]=0;break;}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)smu[i]=(smu[i-1]+mu[i]+MOD)%MOD;
}
int Solve(int xx,int yy)
{
	long long ans=0;
	//for(int i=1;i<=xx;++i)G[i]=1ll*i*i%MOD*1ll*(1ll*(1+xx/i)*(xx/i)/2%MOD)*(1ll*(1+yy/i)*(yy/i)/2%MOD)%MOD;
	//for(int i=1;i<=xx;++i)ans=(ans+1ll*mu[i]*G[i]%MOD+MOD)%MOD;
	int i=1,j;
	while(i<=xx)
	{
	 	j=min(xx/(xx/i),yy/(yy/i));
		int GG=1ll*(1ll*(1+xx/i)*(xx/i)/2%MOD)*(1ll*(1+yy/i)*(yy/i)/2%MOD)%MOD;
		ans+=1ll*(sqr[j]-sqr[i-1])%MOD*GG%MOD;
	 	ans%=MOD;
	 	i=j+1;
	}
	return (ans+MOD)%MOD;
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	if(n>m)swap(n,m);
	Getmu();
	for(int i=1;i<=n;++i)sqr[i]=(sqr[i-1]+1ll*i*i%MOD*mu[i]%MOD+MOD)%MOD;
	//for(int i=1;i<=n;++i)ans=1ll*((ans+1ll*i*Solve(n/i,m/i))%MOD)%MOD;
	int i=1,j;
	while(i<=n)
	{
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		int t=1ll*(i+j)*(j-i+1)/2%MOD;
		ans=(ans+1ll*Solve(n/i,m/i)*t%MOD)%MOD;
		i=j+1;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}