bzoj 3451 Normal

Description

某天WJMZBMR学习了一个神奇的算法：树的点分治！

这个算法的核心是这样的：

消耗时间=0

Solve(树 a)

消耗时间 += a 的 大小

如果 a 中 只有 1 个点

退出

否则在a中选一个点x，在a中删除点x

那么a变成了几个小一点的树，对每个小树递归调用Solve

我们注意到的这个算法的时间复杂度跟选择的点x是密切相关的。

如果x是树的重心，那么时间复杂度就是O(nlogn)

但是由于WJMZBMR比较傻逼，他决定随机在a中选择一个点作为x！

Sevenkplus告诉他这样做的最坏复杂度是O(n^2)

但是WJMZBMR就是不信><。。。

于是Sevenkplus花了几分钟写了一个程序证明了这一点。。。你也试试看吧^^

现在给你一颗树，你能告诉WJMZBMR他的傻逼算法需要的期望消耗时间吗？（消耗时间按在Solve里面的那个为标准）

题面

Solution

考虑一个点会被算入贡献几次,假如我们构出了一棵点分树,那么就贡献了 \(dep\) 次

那么我们考虑任意一个点对 \((x,y)\), 只有 \(y\) 在点分树上是 \(x\) 的父亲,才对 \(x\) 有 \(1\) 的贡献

并且 \(y\) 在点分树上是 \(x\) 的父亲的条件是 在原树中 \((x,y)\) 这条路径上的任意一个点都没有在分治到 \(y\) 之前被分治到

又因为一个点被随机的概率是均等的,则可以得出 \(y\) 对 \(x\) 有 \(1\) 的贡献的概率是 \(\frac{1}{dis(x,y)}\)

所以原问题转化为求 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\frac{1}{dis(x,y)}\)

这个可以用点分治实现

设 \(t[i]\) 表示路径长度为 \(i\) 的点的数量

\(t[i]=\sum_{j=1}^{i}t[i]*t[i-j]\)

这是一个卷积的形式,可以用 \(FFT\) 优化

复杂度 \(O(n*log^2n)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef complex<double> dob;
const int N=240005;const double pi=acos(-1.0);
int n,nxt[N<<1],to[N<<1],num=0,head[N],rt;
int son[N]={N},sz[N],sum;bool vis[N];
inline void link(int x,int y){nxt[++num]=head[x];to[num]=y;head[x]=num;}
inline void getroot(int x,int last){
	sz[x]=1;son[x]=0;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int u=to[i];if(u==last || vis[u])continue;
		getroot(u,x);
		sz[x]+=sz[u];son[x]=max(son[x],sz[u]);
	}
	son[x]=max(son[x],sum-sz[x]);
	if(son[x]<son[rt])rt=x;
}
int st[N],top=0,t[N],s[N],h[N],dis[N];
inline void dfs(int x,int last,int val){
	s[val]++;st[++top]=x;dis[x]=val;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int u=to[i];if(u==last || vis[u])continue;
		dfs(u,x,val+1);
	}
}
namespace FFT{
	int n,L=0,R[N];
	inline void FFT(dob *A,int o){
		for(int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(A[i],A[R[i]]);
		for(int i=1;i<n;i<<=1){
			dob wn(cos(pi/i),sin(pi/i*o)),x,y;
			for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
				dob w(1,0);
				for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
					x=A[j+k];y=w*A[j+k+i];
					A[j+k]=x+y;A[j+k+i]=x-y;
				}
			}
		}
	}
	inline void mul(dob *A,int len){
		for(n=1,L=0;n<=len;n<<=1)L++;
		for(int i=0;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
		FFT(A,1);
		for(int i=0;i<=n;i++)A[i]*=A[i];
		FFT(A,-1);
		A[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++)h[i]=(int)(A[i].real()/n+0.5),A[i]=0;
	}
}
dob A[N];
inline void calc(int x,int op,int val){
	top=0;dfs(x,x,val+1);
	int len=(sz[x]+1)<<1;
	for(int i=1;i<=top;i++)A[dis[st[i]]]=s[dis[st[i]]];
	FFT::mul(A,len);
	for(int i=1;i<=len;i++)t[i]+=h[i+1]*op;
	for(int i=1;i<=top;i++)s[dis[st[i]]]--;
}
inline void solve(int x){
	vis[x]=1;getroot(x,x);calc(x,1,0);
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int u=to[i];if(vis[u])continue;
		getroot(u,x);calc(u,-1,1);
		rt=0;sum=sz[u];getroot(u,x);solve(rt);
	}
}
int main(){
  freopen("pp.in","r",stdin);
  freopen("pp.out","w",stdout);
  int x,y;
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<n;i++){
	  scanf("%d%d",&x,&y);x++;y++;
	  link(x,y);link(y,x);
  }
  rt=0;sum=n;getroot(1,1);solve(rt);
  double ans=0;
  for(int i=1;i<=n;i++)ans+=1.0*t[i]/i;
  printf("%.4lf\n",ans);
  return 0;
}