luogu2123 皇后游戏

好题。

网上看到的范围是：\(T \leq 10\)，$ n \leq 50000$， $ a_i,b_i \leq 10^9$。

我们按照贪心惯常的思路考虑交换相邻的两个人。容易发现，对于相邻的两个人，总是后一个人的答案更大一点。而我们的目的，是让两个人中后一个人的答案更小（这样可以让这两个人后面的答案更小）。

设当前在考虑 \(i\) 与\(i+1\)。记前\(i-1\)号的和为\(sum\)。欲使后面的人答案更小一点，假设\(i\)在前是后面的人答案更小一点，则有

\[\max(\max(sum+a_i,c_{i-1})+b_i, sum+a_i+a_{i+1})+b_{i+1}
\]

\[\max(\max(sum+a_{i+1},c_{i-1})+b_{i+1}, sum+a_i+a_{i+1})+b_i
\]

前者小于后者。

将它们合并到一个max里头，有

\[\max(sum+a_i+b_i+b_{i+1}, c_{i-1}+b_i+b_{i+1}, sum+a_i+a_{i+1}+b_{i+1})
\]

\[\max(sum+a_{i+1}+b_i+b_{i+1}, c_{i-1}+b_i+b_{i+1}, sum+a_i+a_{i+1}+b_i)
\]

前者小于后者。

发现第二项相同，可以同时抛去。（想不通的话想一想$ \max(a, 1)<\max(b, 1)$是怎么回事就好了）

得到

\[\max(sum+a_i+b_i+b_{i+1}, sum+a_i+a_{i+1}+b_{i+1})
\]

\[\max(sum+a_{i+1}+b_i+b_{i+1}, sum+a_i+a_{i+1}+b_i)
\]

前者小于后者。

同时抛去 \(sum\) 得到

\[\max(a_i+b_i+b_{i+1}, a_i+a_{i+1}+b_{i+1})
\]

\[\max(a_{i+1}+b_i+b_{i+1}, a_i+a_{i+1}+b_i)
\]

前者小于后者。

同时减去$ a_i+a_{i+1}+b_i+b_{i+1}$得到

\[\max(-a_{i+1}, -b_i)<max(-a_i, -b_{i+1})
\]

化开得到

\[\min(a_i, b_{i+1})<\min(a_{i+1}, b_i)
\]

这就是排序条件。

然后就很简单啦qwq。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
struct Node{
	long long aa, bb;
}nd[50005];
int T, n;
long long dp[50005], sum;
bool cmp(Node x, Node y){
	return min(x.aa, y.bb)<min(y.aa, x.bb);
}
int main(){
	cin>>T;
	while(T--){
		scanf("%d", &n);
		for(int i=1; i<=n; i++)
			scanf("%lld %lld", &nd[i].aa, &nd[i].bb);
		sort(nd+1, nd+1+n, cmp);
		sum = dp[0] = 0;
		for(int i=1; i<=n; i++){
			sum += nd[i].aa;
			dp[i] = max(dp[i-1], sum) + nd[i].bb;
		}
		printf("%lld\n", dp[n]);
	}
	return 0;
}