bzoj4144 [AMPPZ2014]Petrol

link

题意：

给一个n个点m条边的带权无向图，其中k个点是加油站，每个加油站可以加满油，但不能超过车的油量上限。有q个询问，每次给出x,y,b，保证x,y都是加油站，问一辆油量上限为b的车从x出发能否到达y？

$n,m,s,q\leq 2\times 10^5.$

题解：

只有加油站是有用的点，问题可以转化为求一个加油站的排列，使得相邻两个加油站距离最大值小于等于油量上限。一个简单粗暴的想法是求出加油站两两最短路，然后直接上MST，离线处理询问。

其实上述的暴力做法是有很多冗余的（有很多边用不到）。考虑更优的建边方式。可以发现一个加油站每次往离他最近的加油站走最优（显然，不然为什么求的是MST）。我们将所有加油站扔进dijkstra里跑多源最短路，求出距离每个点最近的加油站，记为nearest[]。对于原图上一条边$u\sim v$，假如nearest[u]=nearest[v]，那么这条边没有用；否则，建一条$nearest[u]\sim nearest[v]$的边，边权为dis(u,nearest[u])+dis(v,nearest[v])+dis(u,v)。相当于添加了一条nearest[u]到nearest[v]的路径（经过u-v这条边）。那么将所有原图的边遍历完之后，也恰好加入了所有可能在MST上的加油站之间的边。

那么再对这个新图跑MST，离线处理询问即可。复杂度$\mathcal{O}(n\log n+\alpha(m+q))$。

code:

 #include<bits/stdc++.h>
 #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
 #define ll long long
 #define inf 1000000001
 #define y1 y1___
 #define pli pair<ll,int>
 #define fi first
 #define se second
 using namespace std;
 char gc(){
     static char buf[],*p1=buf,*p2=buf;
     return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,,,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
 }
 #define gc getchar
 ll read(){
     char ch=gc();ll x=;int op=;
     for (;!isdigit(ch);ch=gc()) if (ch=='-') op=-;
     for (;isdigit(ch);ch=gc()) x=(x<<)+(x<<)+ch-'';
     return x*op;
 }
 #define N 200005
 int n,k,m,x,cnt,head[N],nrst[N],fa[N];ll dis[N];bool vis[N];
 struct edge{int to,nxt,w;}e[N<<];
 struct ask{int x,y,w,id;}q[N];
 struct node{
     int x,y;ll w;node(){}
     node(int x_,int y_,ll w_){x=x_,y=y_,w=w_;}
 }a[N];
 bool cmp_q(ask x,ask y){return x.w<y.w;}
 bool cmp_a(node x,node y){return x.w<y.w;}
 priority_queue<pli,vector<pli>,greater<pli> > q_;
 void adde(int x,int y,int z){
     e[++cnt].to=y;e[cnt].nxt=head[x];head[x]=cnt;
     e[cnt].w=z;
 }
 void dij(){
     while (!q_.empty()){
         int u=q_.top().se;q_.pop();
         if (vis[u]) continue;vis[u]=;
         for (int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
             int v=e[i].to;
             if (dis[v]>dis[u]+e[i].w)
                 dis[v]=dis[u]+e[i].w,q_.push(pli(dis[v],v)),nrst[v]=nrst[u];
         }
     }
 }
 void build(){
     cnt=;
     rep (u,,n) for (int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
         int v=e[i].to;
         if (nrst[u]!=nrst[v]&&nrst[u]<nrst[v]) a[++cnt]=node(nrst[u],nrst[v],dis[u]+dis[v]+e[i].w);
     }
 }
 int getfa(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
 int main(){
     n=read(),k=read(),m=read();
     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
     rep (i,,k){int x=read();dis[x]=,q_.push(pli(,x)),nrst[x]=x;}//nrst[x]：nearest(x)，距离x最近的加油站
     rep (i,,m){int x=read(),y=read(),z=read();adde(x,y,z);adde(y,x,z);}
     dij();build();
     m=read();
     rep (i,,m) q[i].x=read(),q[i].y=read(),q[i].w=read(),q[i].id=i;
     sort(&a[],&a[cnt+],cmp_a);sort(&q[],&q[m+],cmp_q);
     rep (i,,n) fa[i]=i,vis[i]=;int j=;
     rep (i,,m){
         for (;j<=cnt&&a[j].w<=q[i].w;j++) fa[getfa(a[j].x)]=getfa(a[j].y);
         if (getfa(q[i].x)==getfa(q[i].y)) vis[q[i].id]=;
     }
     rep (i,,m) puts(vis[i]?"TAK":"NIE");
     return ;
 }