Codeforces 992 E. Nastya and King-Shamans

\(>Codeforces\space992 E. Nastya and King-Shamans<\)

题目大意 : 给你一个长度为 \(n\) 的序列，有 \(q\) 次操作，每一次操作将一个数 \(A_i\) 改为另外一个数。每一次操作结束时，你需要找出一个位置 \(x\) 满足 \(A_x = sum_{x-1}\) 其中 \(sum\) 表示前缀和

$n , q \leq 2 \times 10^5 \ 0 \leq A_i \leq 10^9 $

解题思路 :

博主亲测分块加均摊分析的做法会因为常数太大 \(TLE\) 掉，在此就不多讨论了

问题要求出满足 \(A_x = sum_{x-1}\) 的位置，这个可以转化为 \(sum_x = 2 \times sum_{x-1}\)

我们考虑从 \(A_{p=1}\) 开始跳，每一次跳到其后面一个最小的 \(k - 1\) ，满足\(sum_k \geq 2 \times sum_p\)

可以证明如果有答案且 \(sum_{ans} > 0\)，那么答案一定在所有的 \(k\) 之中产生

不妨用反证法来证明，假设当且跳到点 \(k\) ，接下来选取的点是 \(k' \ (k < k')\) ，对于 \(k < i < k' - 1\)

如果说 \(i\) 是答案的话，设 \(y\) 为 第一个满足 $ sum_y \geq 2 \times sum_i$ 的点。

因为\(sum_y \geq sumk\) 所以必然有 $ y \geq k' $ ，如果 \(i < k' - 1\) 那么 $ y - i > 1$ , \(i\) 不是答案

所以证明了这样跳，如果有答案的话答案必然在跳到的点上

所以可以用树状数组维护前缀和，每一次暴力二分跳，跳 \(log\) 次就能跳完，总复杂度是\(O(nlog^3n)\)

/*program by mangoyang*/
#include<bits/stdc++.h>
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
inline void read(T &x){
    int f = 0, ch = 0; x = 0;
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
    if(f) x = -x;
}
#define N (300005)
#define int ll
ll c[N], a[N], n, q;
inline void add(int x, ll y){ for(int i = x; i <= n; i += i & -i) c[i] += y; }
inline ll sum(int x){ ll ans = 0; for(int i = x; i; i -= i & -i) ans += c[i]; return ans; }
inline void solve(){
	int x = 1;
	if(sum(1) == 0) return (void)( puts("1") );
	while(x < n){
		int l = x + 1, r = n, k = x, now = 2 * sum(x);
		if(sum(x + 1) == now) return (void) (printf("%d\n", x + 1));
		while(l <= r){
			int mid = l + r >> 1;
			if(sum(mid) < now) k = mid, l = mid + 1; else r = mid - 1;
		}
		if(k + 1 > n) break;
		x = (k == x) ? k + 1 : k;
	}
	puts("-1");
}
main(){
	read(n), read(q);
	for(int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]), add(i, a[i]);
	for(int i = 1; i <= q; i++){
		int x, y; read(x), read(y);
		add(x, y - a[x]), a[x] = y, solve();
	}
	return 0;
}