联邦学习：按混合分布划分Non-IID样本

我们在博文《联邦学习：按病态独立同分布划分Non-IID样本》中学习了联邦学习开山论文^[1]中按照病态独立同分布（Pathological Non-IID）划分样本。 在上一篇博文《联邦学习：按Dirichlet分布划分Non-IID样本》中我们也已经提到了按照Dirichlet分布划分联邦学习Non-IID数据集的一种算法。下面让我们来看按Dirichlet分布划分数据集的另外一种变种，即按混合分布划分Non-IID样本，该方法为论文^[2]中首次提出。

该论文提出了一个重要的假设，那就是虽然联邦学习每个client的数据是Non-IID，但我们假设它们都来自一个混合分布(混合成分个数为超参数可调):

\[p(x|\theta) = \sum_{k=1}^K\alpha_k p(x|\theta_k)
\]

形象化的展示图片如下：

有了这个假设，那我们相当于假定了每个client数据间的一种相似性，这种相似性类似于从Non-IID中找出潜藏的IID成分。

接下来我们来看这个划分算法的函数如何设计。除了常规Dirichlet划分算法所要求的n_clients、n_classes、\(\alpha\)等， 它还有一个专门的n_clusters参数，表示混合成分个数。我们来看函数原型：

def split_dataset_by_labels(dataset, n_classes, n_clients, n_clusters, alpha, frac, seed=1234):

我们解释一下函数的参数，这里dataset是torch.utils.Dataset类型的数据集，n_classes表示数据集里样本分类数，n_clusters是簇的个数（后面会解释其含义，如果设置为-1，则就默认n_clusters=n_classes，相当于每个client各为一个簇，即放弃了混合分布假设），alpha 用于控制clients之间的数据diversity（多样性），frac是使用数据集的比例(默认是1，即使用全部数据)，seed是传入的随机数种子。该函数返回一个由n_client个client所需的样本索引组成的列表组成的列表client_idcs。

接下来我们看这个函数的内容。这个函数的内容可以概括为：先将所有类别分组为n_clusters个簇；再对每个簇c，将样本划分给不同的clients（每个client的样本数量按照dirichlet分布来确定）。

首先，我们判断n_clusters的数量，如果为-1，则默认每一个cluster对应一个数据class：

    if n_clusters == -1:
        n_clusters = n_classes

然后将打乱后的标签集合\(\{0,1,...,n\_classes-1\}\)分为n_clusters个独立同分布的簇。

    all_labels = list(range(n_classes))
    np.random.shuffle(all_labels)
    def iid_divide(l, g):
        """
        将列表`l`分为`g`个独立同分布的group（其实就是直接划分）
        每个group都有 `int(len(l)/g)` 或者 `int(len(l)/g)+1` 个元素
        返回由不同的groups组成的列表
        """
        num_elems = len(l)
        group_size = int(len(l) / g)
        num_big_groups = num_elems - g * group_size
        num_small_groups = g - num_big_groups
        glist = []
        for i in range(num_small_groups):
            glist.append(l[group_size * i: group_size * (i + 1)])
        bi = group_size * num_small_groups
        group_size += 1
        for i in range(num_big_groups):
            glist.append(l[bi + group_size * i:bi + group_size * (i + 1)])
        return glist
    clusters_labels = iid_divide(all_labels, n_clusters)

然后再建立根据上面划分为簇的标签(clusters_labels)建立key为label, value为簇id(group_idx)的字典，

    label2cluster = dict()  # maps label to its cluster
    for group_idx, labels in enumerate(clusters_labels):
        for label in labels:
            label2cluster[label] = group_idx

接着获取数据集的索引

    data_idcs = list(range(len(dataset)))

之后，我们

    # 记录每个cluster大小的向量
    clusters_sizes = np.zeros(n_clusters, dtype=int)
    # 存储每个cluster对应的数据索引
    clusters = {k: [] for k in range(n_clusters)}
    for idx in data_idcs:
        _, label = dataset[idx]
        # 由样本数据的label先找到其cluster的id
        group_id = label2cluster[label]
        # 再将对应cluster的大小+1
        clusters_sizes[group_id] += 1
        # 将样本索引加入其cluster对应的列表中
        clusters[group_id].append(idx)

    # 将每个cluster对应的样本索引列表打乱
    for _, cluster in clusters.items():
        rng.shuffle(cluster)

接着，我们按照Dirichlet分布设置每一个cluster的样本个数。

    # 记录来自每个cluster的client的样本数量
    clients_counts = np.zeros((n_clusters, n_clients), dtype=np.int64) 

    # 遍历每一个cluster
    for cluster_id in range(n_clusters):
        # 对每个cluster中的每个client赋予一个满足dirichlet分布的权重
        weights = np.random.dirichlet(alpha=alpha * np.ones(n_clients))
        # np.random.multinomial 表示投掷骰子clusters_sizes[cluster_id]次，落在各client上的权重依次是weights
        # 该函数返回落在各client上各多少次，也就对应着各client应该分得的样本数
        clients_counts[cluster_id] = np.random.multinomial(clusters_sizes[cluster_id], weights)

    # 对每一个cluster上的每一个client的计数次数进行前缀（累加）求和，
    # 相当于最终返回的是每一个cluster中按照client进行划分的样本分界点下标
    clients_counts = np.cumsum(clients_counts, axis=1)

然后，我们根据每一个cluster中的每一个client分得的样本情况（我们已经得到了每一个cluster中按照client进行划分的样本分界点下标），合并归纳得到每一个client中分得的样本情况。

    def split_list_by_idcs(l, idcs):
        """
        将列表`l` 划分为长度为 `len(idcs)` 的子列表
        第`i`个子列表从下标 `idcs[i]` 到下标`idcs[i+1]`
        （从下标0到下标`idcs[0]`的子列表另算）
        返回一个由多个子列表组成的列表
        """
        res = []
        current_index = 0
        for index in idcs:
            res.append(l[current_index: index])
            current_index = index

        return res

    clients_idcs = [[] for _ in range(n_clients)]
    for cluster_id in range(n_clusters):
        # cluster_split为一个cluster中按照client划分好的样本
        cluster_split = split_list_by_idcs(clusters[cluster_id], clients_counts[cluster_id])

        # 将每一个client的样本累加上去
        for client_id, idcs in enumerate(cluster_split):
            clients_idcs[client_id] += idcs

最后，我们返回每个client对应的样本索引：

    return clients_idcs

接下来我们在EMNIST数据集上调用该函数进行测试，并进行可视化呈现。我们设client数量\(N=10\)，Dirichlet概率分布的参数向量\(\bm{\alpha}\)满足\(\alpha_i=0.4,\space i=1,2,...N\), 混合成分个数为3：

import torch
from torchvision import datasets
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

torch.manual_seed(42)

if __name__ == "__main__":

    N_CLIENTS = 10
    DIRICHLET_ALPHA = 1
    N_COMPONENTS = 3

    train_data = datasets.EMNIST(root=".", split="byclass", download=True, train=True)
    test_data = datasets.EMNIST(root=".", split="byclass", download=True, train=False)
    n_channels = 1

    input_sz, num_cls = train_data.data[0].shape[0],  len(train_data.classes)

    train_labels = np.array(train_data.targets)

    # 注意每个client不同label的样本数量不同，以此做到Non-IID划分
    client_idcs = split_dataset_by_labels(train_data, num_cls, N_CLIENTS, N_COMPONENTS, DIRICHLET_ALPHA)

    # 展示不同client的不同label的数据分布
    plt.figure(figsize=(20,3))
    plt.hist([train_labels[idc]for idc in client_idcs], stacked=True,
            bins=np.arange(min(train_labels)-0.5, max(train_labels) + 1.5, 1),
            label=["Client {}".format(i) for i in range(N_CLIENTS)], rwidth=0.5)
    plt.xticks(np.arange(num_cls), train_data.classes)
    plt.legend()
    plt.show()

最终的可视化结果如下：

可以看到，62个类别标签在不同client上的分布虽然不同，但相对下面的完全基于Dirichlet的样本划分算法，每个client之间的数据分布显得更加相似，这证明我们的混合分布样本划分算法是有效的。

参考

• [1] McMahan B, Moore E, Ramage D, et al. Communication-efficient learning of deep networks from decentralized data[C]//Artificial intelligence and statistics. PMLR, 2017: 1273-1282.

• [2] Marfoq O, Neglia G, Bellet A, et al. Federated multi-task learning under a mixture of distributions[J]. Advances in Neural Information Processing Systems, 2021, 34.