2012年第三届蓝桥杯【C++省赛B组】

第一题：微生物增殖

假设有两种微生物 X 和 Y

X出生后每隔3分钟分裂一次（数目加倍），Y出生后每隔2分钟分裂一次（数目加倍）。

一个新出生的X，半分钟之后吃掉1个Y，并且，从此开始，每隔1分钟吃1个Y。

现在已知有新出生的 X=10, Y=89，求60分钟后Y的数目。

如果X=10，Y=90呢？

本题的要求就是写出这两种初始条件下，60分钟后Y的数目。

题目的结果令你震惊吗？这不是简单的数字游戏！真实的生物圈有着同样脆弱的性质！也许因为你消灭的那只 Y 就是最终导致 Y 种群灭绝的最后一根稻草！

模拟进程

答案：0，94371840

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int x = 10, y = 90, t = 60;
    bool f = false;
    for (int i = 1; i <= t; i++) {
        if (i % 2 == 0) y *= 2;
        if (i % 3 == 0) {
            int tmp = x;
            x *= 2;
            if (f && y) y -= tmp * 3;
            f = true;
        }
    }
    // 注意如果 t 在最后是 2 的倍数的话应该还要再增长一次
    if (t % 2 == 0) y *= 2;
    cout << y;
    return 0;
}

另一种写法

int solve(int x, int y) { // 把 0.5 min 扩大
    for (int i = 1; i <= 120; ++i) {
        if (i % 2 == 1) y -= x;
        if (i % 4 == 0) y *= 2;
        if (i % 6 == 0) x *= 2;
    }
    return y;
}
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cout << solve(10, 89) << "\n";
    cout << solve(10, 90) << "\n";
    return 0;
}

第二题：古堡算式

福尔摩斯到某古堡探险，看到门上写着一个奇怪的算式：

ABCDE * ? = EDCBA

他对华生说：“ABCDE应该代表不同的数字，问号也代表某个数字！”

华生：“我猜也是！”

于是，两人沉默了好久，还是没有算出合适的结果来。

请你利用计算机的优势，找到破解的答案。

把 ABCDE 所代表的数字写出来。

暴力一下

答案：21978

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int num[] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
    do {
        if (num[0] == 0 || num[4] == 0) continue;  // 排除0在首位的可能
        int a = num[0] + num[1] * 10 + num[2] * 100 + num[3] * 1000 +
                num[4] * 10000;
        int b = num[4] + num[3] * 10 + num[2] * 100 + num[1] * 1000 +
                num[0] * 10000;
        if (b % a == 0) {
            cout << a << "\n";
            break;
        }
    } while (next_permutation(num, num + 10));
    return 0;
}

第三题：海盗比酒量

有一群海盗（不多于20人），在船上比拼酒量。过程如下：打开一瓶酒，所有在场的人平分喝下，有几个人倒下了。再打开一瓶酒平分，又有倒下的，再次重复...... 直到开了第4瓶酒，坐着的已经所剩无几，海盗船长也在其中。当第4瓶酒平分喝下后，大家都倒下了。

等船长醒来，发现海盗船搁浅了。他在航海日志中写到：“......昨天，我正好喝了一瓶.......奉劝大家，开船不喝酒，喝酒别开船......”

请你根据这些信息，推断开始有多少人，每一轮喝下来还剩多少人。

如果有多个可能的答案，请列出所有答案，每个答案占一行。

格式是：人数,人数,...

例如,有一种可能是：20,5,4,2,0

答案：20,5,4,2,0

18,9,3,2,0

15,10,3,2,0

12,6,4,2,0

4次之后船长喝了1瓶，由于酒每次都是平分， 计算四个分数加起来等于1就好了。

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    for (int i = 20; i > 1; i--)  //第一瓶酒，i个人分，每个人1/i
        for (int j = i - 1; j > 1; j--)  //第二瓶酒，j个人分，每个人1/j
            for (int k = j - 1; k > 1; k--)  //第三瓶酒，k个人分
                for (int h = k - 1; h > 1; h--)
                    if (fabs(1.0 / i + 1.0 / j + 1.0 / k + 1.0 / h - 1) <
                        0.0000001) {
                        cout << i << ',' << j << ',' << k << ',' << h << ','
                             << 0 << endl;
                    }
    return 0;
}

第四题：奇怪的比赛

某电视台举办了低碳生活大奖赛。题目的计分规则相当奇怪：

每位选手需要回答10个问题（其编号为1到10），越后面越有难度。答对的，当前分数翻倍；答错了则扣掉与题号相同的分数（选手必须回答问题，不回答按错误处理）。

每位选手都有一个起步的分数为10分。

某获胜选手最终得分刚好是100分，如果不让你看比赛过程，你能推断出他（她）哪个题目答对了，哪个题目答错了吗？

如果把答对的记为1，答错的记为0，则10个题目的回答情况可以用仅含有1和0的串来表示。例如：0010110011 就是可能的情况。

你的任务是算出所有可能情况。每个答案占一行。

答案：DFS搜索一下

1011010000

0111010000

0010110011

vector<string> ans;
void dfs(string s, int point, int pos) {
    if (pos == 11) {
        if (point == 100) ans.push_back(s);
        return;
    }
    s[pos] = '1';
    dfs(s, point * 2, pos + 1);
    s[pos] = '0';
    dfs(s, point - pos, pos + 1);
}
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    dfs("00000000000", 10, 1);
    for (auto &x : ans) cout << x << "\n"; // 注意前导0要删一个
    return 0;
}

另外这道题还可以二进制枚举

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    for (int i = 0; i < (1 << 10); ++i) {
        int point = 10;
        for (int j = 0; j < 10; j++) {
            if (i & (1 << j)) point *= 2;
            else
                point -= (j + 1);
        }

        if (point == 100) {
            for (int j = 0; j < 10; ++j) cout << bool(i & (1 << j));
            cout << "\n";
        }
    }
    return 0;
}

第五题：方阵旋转

对一个方阵转置，就是把原来的行号变列号，原来的列号变行号

例如，如下的方阵：

1  2  3  4
5  6  7  8
9 10 11 12
13 14 15 16

转置后变为：

1  5  9 13
2  6 10 14
3  7 11 15
4  8 12 16

但，如果是对该方阵顺时针旋转（不是转置），却是如下结果：

13  9  5  1
14 10  6  2
15 11  7  3
16 12  8  4

下面的代码实现的功能就是要把一个方阵顺时针旋转。

请填写划线部分缺失的代码。

注意：只填写划线部分的代码，不要填写任何多余的内容。比如已经存在的小括号，注释或说明文字等

void rotate(int* x, int rank)
{
	int* y = (int*)malloc(___________________);  // 填空

	for(int i=0; i<rank * rank; i++)
	{
		y[_________________________] = x[i];  // 填空
	}

	for(i=0; i<rank*rank; i++)
	{
		x[i] = y[i];
	}

	free(y);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
	int x[4][4] = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{9,10,11,12},{13,14,15,16}};
	int rank = 4;

	rotate(&x[0][0], rank);

	for(int i=0; i<rank; i++)
	{
		for(int j=0; j<rank; j++)
		{
			printf("%4d", x[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}

	return 0;
}

答案：

（1）\(rank*rank*sizeof(int)\)

（2） (i % 4) * 4 + 3 - i / 4​

第一步无可厚非，就是开一个和原本矩阵大小相同的数组而已，第二步变换如下

矩阵的普通的倒置是\(x[j][i]=x[i][j];\)

顺时针倒置是\(x[j][3-i]=x[i][j];\)

此处还要讲i转化成两个坐标，即：\(x[i]->x[i/4][i\%4]\)

那么，通过顺时针倒置，则有 \(x[i\%4][3-i/4]=x[i/4][i\%4]=x[i]\)

即：\(x[(i\%4)*4+3-i/4]=x[i]\);

第六题：大数乘法

对于32位字长的机器，大约超过20亿，用int类型就无法表示了，我们可以选择int64类型，但无论怎样扩展，固定的整数类型总是有表达的极限！如果对超级大整数进行精确运算呢？一个简单的办法是：仅仅使用现有类型，但是把大整数的运算化解为若干小整数的运算，即所谓：“分块法”。

如下图，表示了分块乘法的原理。可以把大数分成多段（此处为2段）小数，然后用小数的多次运算组合表示一个大数。可以根据int的承载能力规定小块的大小，比如要把int分成2段，则小块可取10000为上限值。注意，小块在进行纵向累加后，需要进行进位校正。

以下代码示意了分块乘法的原理（乘数、被乘数都分为2段）

请填写划线部分缺失的代码。

注意：只填写划线部分的代码，不要填写任何多余的内容。比如已经存在的小括号，注释或说明文字等。

void bigmul(int x, int y, int r[])
{
	int base = 10000;
	int x2 = x / base;
	int x1 = x % base;
	int y2 = y / base;
	int y1 = y % base; 

	int n1 = x1 * y1;
	int n2 = x1 * y2;
	int n3 = x2 * y1;
	int n4 = x2 * y2;

	r[3] = n1 % base;
	r[2] = n1 / base + n2 % base + n3 % base;
	r[1] = ____________________________________________; // 填空
	r[0] = n4 / base;

	r[1] += _______________________;  // 填空
	r[2] = r[2] % base;
	r[0] += r[1] / base;
	r[1] = r[1] % base;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
	int x[] = {0,0,0,0};

	bigmul(87654321, 12345678, x);

	printf("%d%d%d%d\n", x[0],x[1],x[2],x[3]);

	return 0;
}

答案：

r[1] = n3 / base + n2 / base + n4 % base

r[1] += r[2] / base

第七题：放旗子

放棋子

今有 6 x 6 的棋盘格。其中某些格子已经预先放好了棋子。现在要再放上去一些，使得：每行每列都正好有3颗棋子。我们希望推算出所有可能的放法。下面的代码就实现了这个功能,请填写划线部分缺失的代码。。

初始数组中，“1”表示放有棋子，“0”表示空白。

注意：只填写划线部分的代码，不要填写任何多余的内容。比如已经存在的小括号，注释或说明文字等。

int N = 0;

bool CheckStoneNum(int x[][6])
{
	for(int k=0; k<6; k++)
	{
		int NumRow = 0;
		int NumCol = 0;
		for(int i=0; i<6; i++)
		{
			if(x[k][i]) NumRow++;
			if(x[i][k]) NumCol++;
		}
		if(_____________________) return false;  // 填空
	}
	return true;
}

int GetRowStoneNum(int x[][6], int r)
{
	int sum = 0;
	for(int i=0; i<6; i++) 	if(x[r][i]) sum++;
	return sum;
}

int GetColStoneNum(int x[][6], int c)
{
	int sum = 0;
	for(int i=0; i<6; i++) 	if(x[i][c]) sum++;
	return sum;
}

void show(int x[][6])
{
	for(int i=0; i<6; i++)
	{
		for(int j=0; j<6; j++) printf("%2d", x[i][j]);
		printf("\n");
	}
	printf("\n");
}

void f(int x[][6], int r, int c);

void GoNext(int x[][6],  int r,  int c)
{
	if(c<6)
		_______________________;   // 填空
	else
		f(x, r+1, 0);
}

void f(int x[][6], int r, int c)
{
	if(r==6)
	{
		if(CheckStoneNum(x))
		{
			N++;
			show(x);
		}
		return;
	}

	if(______________)  // 已经放有了棋子
	{
		GoNext(x,r,c);
		return;
	}

	int rr = GetRowStoneNum(x,r);
	int cc = GetColStoneNum(x,c);

	if(cc>=3)  // 本列已满
		GoNext(x,r,c);
	else if(rr>=3)  // 本行已满
		f(x, r+1, 0);
	else
	{
		x[r][c] = 1;
		GoNex。t(x,r,c);
		x[r][c] = 0;

		if(!(3-rr >= 6-c || 3-cc >= 6-r))  // 本行或本列严重缺子，则本格不能空着！
			GoNext(x,r,c);
	}
}

int main(int argc, char* argv[])
{
	int x[6][6] = {
		{1,0,0,0,0,0},
		{0,0,1,0,1,0},
		{0,0,1,1,0,1},
		{0,1,0,0,1,0},
		{0,0,0,1,0,0},
		{1,0,1,0,0,1}
	};

	f(x, 0, 0);

	printf("%d\n", N);

	return 0;
}

第八题：密码发生器

在对银行账户等重要权限设置密码的时候，我们常常遇到这样的烦恼：如果为了好记用生日吧，容易被破解，不安全；如果设置不好记的密码，又担心自己也会忘记；如果写在纸上，担心纸张被别人发现或弄丢了...

这个程序的任务就是把一串拼音字母转换为6位数字（密码）。我们可以使用任何好记的拼音串(比如名字，王喜明，就写：wangximing)作为输入，程序输出6位数字。

变换的过程如下：

第一步. 把字符串6个一组折叠起来，比如wangximing则变为：

wangxi

ming

第二步. 把所有垂直在同一个位置的字符的ascii码值相加，得出6个数字，如上面的例子，则得出：

228 202 220 206 120 105

第三步. 再把每个数字“缩位”处理：就是把每个位的数字相加，得出的数字如果不是一位数字，就再缩位，直到变成一位数字为止。例如: 228 => 2+2+8=12 => 1+2=3

上面的数字缩位后变为：344836, 这就是程序最终的输出结果！

要求程序从标准输入接收数据，在标准输出上输出结果。

输入格式为：第一行是一个整数n（<100），表示下边有多少输入行，接下来是n行字符串，就是等待变换的字符串。

输出格式为：n行变换后的6位密码。

例如，输入：

5
zhangfeng
wangximing
jiujingfazi
woaibeijingtiananmen
haohaoxuexi

则输出：

772243
344836
297332
716652
875843

int f(int x) {
    if (x < 10) return x;
    int sum = 0;
    while (x) sum += x % 10, x /= 10;
    return f(sum);
}
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int _;
    for (cin >> _; _--;) {
        string str;
        cin >> str;
        int v[6] = {0};
        for (int i = 0; i < str.size(); i++) v[i % 6] += str[i];

        for (int i = 0; i < 6; ++i) cout << f(v[i]);
        cout << "\n";
    }
    return 0;
}

第九题：夺冠概率

足球比赛具有一定程度的偶然性，弱队也有战胜强队的可能。

假设有甲、乙、丙、丁四个球队。根据他们过去比赛的成绩，得出每个队与另一个队对阵时取胜的概率表:

甲 乙 丙 丁

甲 —— 0.1 0.3 0.5

乙 0.9 —— 0.7 0.4

丙 0.7 0.3 —— 0.2

丁 0.5 0.6 0.8 ——

数据含义：甲对乙的取胜概率为0.1，丙对乙的胜率为0.3，...

数据含义：甲对乙的取胜概率为0.1，丙对乙的胜率为0.3，...

现在要举行一次锦标赛。双方抽签，分两个组比，获胜的两个队再争夺冠军。（参见【1.jpg】）

请你进行10万次模拟，计算出甲队夺冠的概率。

学习于：https://blog.csdn.net/qq_34594236/article/details/59720732 作者：i逆天耗子丶

题目给出了甲乙丙丁相互之间竞争取胜的各自的概率。现在要求模拟10万次比赛，求出甲队夺冠的概率，甲获胜比赛安排的类型是有限的。如下图：

一共有这三种情况，而这三种情况甲夺冠的概率可以分别求出来，这三个概率相加就是甲夺冠的理论概率（这个值是恒定的，因为这三种情况出现的概率都是1/3），但是题目让模拟10万次，那么每次得出的概率一定不是相同的，但是都是非常接近这个恒定的概率值。我们可以是使用rand()函数，随机获取0-2这三个数，用来体现这三种情况出现的随机性，10万次的概率总和相加，最后除以10万即是答案。

double p[3];
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    p[0] = 0.1 * 0.8 * 0.5 + 0.1 * 0.2 * 0.3;
    p[1] = 0.3 * 0.6 * 0.5 + 0.3 * 0.4 * 0.1;
    p[2] = 0.5 * 0.7 * 0.1 + 0.5 * 0.3 * 0.3;
    //用来记录10万次概率的总和
    double sum = 0;
    //设置随机数种子
    srand(time(NULL));
    for (int i = 1; i <= 100000; i++) {
        int r = rand() % 3;
        sum += p[r];
    }
    cout << sum / 100000;
    // 由于是随机种子，导致每次运行的答案会不一样
    return 0;
}

第十题：取球博弈

今盒子里有n个小球，A、B两人轮流从盒中取球，每个人都可以看到另一个人取了多少个，也可以看到盒中还剩下多少个，并且两人都很聪明，不会做出错误的判断。

我们约定：

每个人从盒子中取出的球的数目必须是：1，3，7或者8个。

轮到某一方取球时不能弃权！

A先取球，然后双方交替取球，直到取完。

被迫拿到最后一个球的一方为负方（输方）

请编程确定出在双方都不判断失误的情况下，对于特定的初始球数，A是否能赢？

程序运行时，从标准输入获得数据，其格式如下：

先是一个整数n(n<100)，表示接下来有n个整数。然后是n个整数，每个占一行（整数<10000），表示初始球数。

程序则输出n行，表示A的输赢情况（输为0，赢为1）。

例如，用户输入：

4
1
2
10
18

则程序应该输出：

0
1
1
0

我们可以把这个取球过程倒过来看，先假设最后盒子里面有1个球，为了把这个球留给对方，我们自然是希望此时盒子里面的数目为1+1，1+3，1+7，1+8，接着来看最后盒子里面有2个球，这种情况前面已经提到了，我拿1个，对方就输了，因为只要有一种赢的可能就算这种局面可以赢，所以从1的情况推过来的时候，有了2的情况，那么我们其实已经可以不用考虑了。

简言之，如果A的某一状态是输的，那这个状态加1 3 7 8，A都是赢的。

根据这个思路，我们可以开一个数组来记录某个数目的情况下是否能赢；

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int a[100], f[10001] = {0}, n, i;
    cin >> n;
    for (i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
    for (i = 1; i + 8 < 10001; i++) {
        if (f[i] == 0) {
            f[i + 1] = 1;
            f[i + 3] = 1;
            f[i + 7] = 1;
            f[i + 8] = 1;
        }
    }
    for (i = 0; i < n; i++) cout << f[a[i]] << "\n";
    return 0;
}