Buckingham-Reiner 方程和 Darby-Melson 经验方程

由 Roni, et al. (2018), Woolley, et al. (2014), Yang, et al. (2017) 整理人便便的物理性质数据如下：

性质	值
密度 \((\text{kg/L})\)	\(1.06\sim1.09\)
直径 \((\text{cm})\)	\(2.5\sim3.4\)
屈服应力 \((\text{Pa})\)	\(200\sim2000\)
速度 \((\text{cm/s})\)	\(2\)

便便时的表观粘度较难直接查到，我估算便便时的剪切速率为 \(1~\text{s}^{-1}\)，查出此时的粘度大约为 \(100\sim1000~\text{Pa}\cdot\text s\)。代入雷诺数公式 \(\textit{Re}=\dfrac{du\rho}\mu\)，可知其雷诺数大约位于 \(0.0006\sim0.006\) 左右。

层流宾汉流体的流动阻力系数满足 Buckingham-Reiner 方程

\[f_L=\frac{64}{\textit{Re}}\left[1+\frac{\textit{He}}{6\textit{Re}}-\frac{64}3\frac{\textit{He}^4}{f_L^3\textit{Re}^7}\right]
\]

式中有两个无量纲数，Reynolds number 与 Hedström number

\[\textit{Re}=\frac{du\rho}\mu,\textit{He}=\frac{\rho d^2\tau_0}{\mu^2}
\]

\(\tau_0\) 为宾汉流体的屈服应力。

Buckingham-Reiner 方程可以数值解，或者由 Swamee-Aggarwal 方程给出近似解

\[f_L=\frac{64}{\textit{Re}}+\frac{64}{\textit{Re}}\left(\frac{\textit{He}}{6.2218\textit{Re}}\right)^{0.958}
\]

湍流宾汉流体的流动阻力系数可以由 Darby 和 Melson 给出的经验方程计算

\[f_T=4\times10^a\textit{Re}^{-0.193} \\[1ex]
a=-1.47\left(1+0.146\mathrm e^{-2.9\times10^{-5}\textit{He}}\right)
\]