【BZOJ-2668】交换棋子最小费用最大流

2668: [cqoi2012]交换棋子

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Description

有一个n行m列的黑白棋盘，你每次可以交换两个相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）中的棋子，最终达到目标状态。要求第i行第j列的格子只能参与m_i,j次交换。

Input

第一行包含两个整数n，m（1<=n, m<=20）。以下n行为初始状态，每行为一个包含m个字符的01串，其中0表示黑色棋子，1表示白色棋子。以下n行为目标状态，格式同初始状态。以下n行每行为一个包含m个0~9数字的字符串，表示每个格子参与交换的次数上限。

Output

输出仅一行，为最小交换总次数。如果无解，输出-1。

Sample Input

3 3
110
000
001
000
110
100
222
222
222

Sample Output

HINT

Source

Solution

这是一道建图比较有趣的费用流.

想到用费用流比较容易，很显然，连法必然是S连向原图中的黑点，新图中的黑点连向T，问题在于中间的连边，如何利用容量限制两个点。

自己一开始立马想到拆点，但是是很naive的一拆二，限制容量，但这样并不可以。

实际上这个题需要一个点拆成3个点，我们把点$x$拆成$x_{1},x_{2},x_{3}$，并连出$x_{1}-->x_{2}-->x_{3}$

其中$x_{1}-->x_{2}$表示$x$这个点最多流入的流量，$x_{2}-->x_{3}$表示$x$这个点最多流出的流量。

对于一个点$x$，如果只是原图的黑点，那么限制$<x_{1},x_{2}>:cap=\frac{use[x]}{2};cost=0 ; <x_{2},x_{3}>:cap=\frac{use[x]+1}{2};cost=0$

并且连$S-->x_{2} : cap=1;cost=0$

对于一个点$x$，如果只是新图的黑点，那么限制$<x_{1},x_{2}>:cap=\frac{use[x]+1}{2};cost=0 ; <x_{2},x_{3}>:cap=\frac{use[x]}{2};cost=0$

并且连$x_{2}-->T : cap=1;cost=0$

如果一个点$x$，如果在原图和新图中都是白点或者都是黑点，那么我们限制$<x_{1},x_{2}>:cap=\frac{use[x]}{2};cost=0 ; <x_{2},x_{3}>:cap=\frac{use[x]}{2};cost=0$

对于图中的八连通格两两$x ; y$，连边$x_{3}-->y_{1} ：cap=INF ; cost=1$流经此边，表示交换一次。

上述的限制方法，实际上是对网格的每个位置的流量变化进行讨论得到的，因为是一个最值情况，所以很多流入流出限制都无法完全流满。

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<queue>

using namespace std;

#define MAXM 100010

#define MAXN 2000

int N,M,used[][];

char st[][],ed[][],us[][];

struct EdgeNode{int next,to,cap,cost;}edge[MAXM];

int cnt=,head[MAXN];

inline void AddEdge(int u,int v,int w,int c) {cnt++; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; edge[cnt].to=v; edge[cnt].cap=w; edge[cnt].cost=c;}

inline void InsertEdge(int u,int v,int w,int c) {AddEdge(u,v,w,c); AddEdge(v,u,,-c);}

int dis[MAXN],S,T,Cost,Flow;

bool mark[MAXN];

#define INF 0x7fffffff

inline bool SPFA()

{

    memset(mark,,sizeof(mark));

    for (int i=S; i<=T; i++) dis[i]=INF;

    queue<int>q;

    q.push(S); dis[S]=; mark[S]=;

    while (!q.empty())

        {

            int now=q.front(); q.pop(); mark[now]=;

            for (int i=head[now]; i; i=edge[i].next)

                if (edge[i].cap && dis[edge[i].to]>dis[now]+edge[i].cost)

                    {

                        dis[edge[i].to]=dis[now]+edge[i].cost;

                        if (!mark[edge[i].to]) q.push(edge[i].to),mark[edge[i].to]=;

                    }

        }

    return dis[T]!=INF;

}

inline int DFS(int loc,int low)

{

    mark[loc]=;

    if (loc==T) return low;

    int used=,w;

    for (int i=head[loc]; i; i=edge[i].next)

        if (edge[i].cap && !mark[edge[i].to] && dis[edge[i].to]==dis[loc]+edge[i].cost)

            {

                w=DFS(edge[i].to,min(edge[i].cap,low-used));

                edge[i].cap-=w; edge[i^].cap+=w; used+=w; Cost+=w*edge[i].cost;

                if (low==used) return used;

            }

    return used;

}

inline int zkw()

{

    int re=;

    while (SPFA())

        {

            mark[T]=;

            while (mark[T]) memset(mark,,sizeof(mark)),re+=DFS(S,INF);

        }

    return re;

}

int id[][][],ID,black,white;

int dx[]={-,-,-,,,,,},dy[]={-,,,-,,-,,};

inline bool check(int x,int y) {return x>= && x<=N && y>= && y<=M;}

void BuildGraph()

{

    for (int i=; i<=N; i++)

        for (int j=; j<=M; j++)

            for (int k=; k<=; k++)

                id[i][j][k]=++ID;

    S=,T=ID+;

    for (int i=; i<=N; i++)

        for (int j=; j<=M; j++)

            {

                if (st[i][j]=='' && ed[i][j]=='')

                    black++,

                    InsertEdge(S,id[i][j][],,),

                    InsertEdge(id[i][j][],id[i][j][],used[i][j]/,),

                    InsertEdge(id[i][j][],id[i][j][],(used[i][j]+)/,);

                if (st[i][j]=='' && ed[i][j]=='')

                    white++,

                    InsertEdge(id[i][j][],T,,),

                    InsertEdge(id[i][j][],id[i][j][],(used[i][j]+)/,),

                    InsertEdge(id[i][j][],id[i][j][],used[i][j]/,);

                if (st[i][j]==ed[i][j])

                    InsertEdge(id[i][j][],id[i][j][],used[i][j]/,),

                    InsertEdge(id[i][j][],id[i][j][],used[i][j]/,);

            }

    for (int i=; i<=N; i++)

        for (int j=; j<=M; j++)

            for (int x,y,k=; k<; k++)

                {

                    x=i+dx[k],y=j+dy[k];

                    if (check(x,y)) InsertEdge(id[i][j][],id[x][y][],INF,);

                }

}

int main()

{

    scanf("%d%d",&N,&M);

    for (int i=; i<=N; i++) scanf("%s",st[i]+);

    for (int i=; i<=N; i++) scanf("%s",ed[i]+);

    for (int i=; i<=N; i++) scanf("%s",us[i]+);

    for (int i=; i<=N; i++)

        for (int j=; j<=M; j++) used[i][j]=us[i][j]-'';

    BuildGraph();

    Flow=zkw();

    printf("%d\n",black==white? (Flow==black? Cost : -) : -);

    return ;

}

脑残RE了好几次...