CF505C Mr. Kitayuta, the Treasure Hunter

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题目

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题解

知识点：线性dp。

常规的状态 \(dp[i][j]\) 表示为到第 \(i\) 个岛上一步走了 \(j\) 能得到宝藏的最大值，会炸空间。注意到步数是就算从 \(1\) 开始走到结束，最多不会超过初始步数 \(d\) 的 \(\pm 250\) 。因此，改变状态为到第 \(i\) 个岛上一步的关于 \(d\) 的偏移量为 \(j+300\) （负数不能表示，所以整体加 \(300\)）。

遍历 \(j\) 时要注意边界条件，如步数 \(d+j-300 \geq 1\) ，上一次的岛屿编号 \(i-(d+j-300) \geq 1\) 。

初始位置的宝藏要初始化进去，其他应该是负无穷。

答案不一定在最后一个岛上，因为可能跳不到，所以考虑在过程中取最大值即可。

时间复杂度 \(O(30000*600)\)

空间复杂度 \(O(30000*600)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int dp[30007][607];
int p[30007];

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n, d;
    cin >> n >> d;
    for (int i = 1, tmp;i <= n;i++) cin >> tmp, p[tmp]++;
    memset(dp, -0x3f, sizeof(dp));
    dp[d][300] = p[d];
    int ans = p[d];
    for (int i = d + 1;i <= 30000;i++) {
        for (int j = 10;j <= 590;j++) {///偏移量不超过±250
            if (1 <= d + j - 300 && i - (d + j - 300) >= 1) {///步数不小于1，岛屿不小于1
                dp[i][j] = max({
                        dp[i - (d + j - 300)][j - 1],
                        dp[i - (d + j - 300)][j],
                        dp[i - (d + j - 300)][j + 1]
                    }) + p[i];
            }
            ans = max(dp[i][j], ans);///有可能跳不到30000而直接超过30000，但一定能经过最大值路径上的岛屿，每次保存最大值即可
            ///因为终点未知，也可以考虑逆推，因为起点固定
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}