CSS3 贝塞尔曲线实现

cubic-bezier 曲线是 css3 动画的一个重要基石。另一个为 steps （ease 等都是 cubic-bezier 的特殊形式），css3 中的 cubic_bezier 曲线限制了首尾两控制点的位置，通过调整中间两控制点的位置可以灵活得到常用的动画效果，同时 canvas 也进行了相应的支持，也存在相应的工具可以根据想要的曲线得到对应 cubic bezier 曲线的控制点参数。

而 ie(6-9) 却没有相应的支持，为了能在各个平台得到一致的动画效果，则不可避免要在 ie 上通过定时器沿着指定控制点参数的 cubic bezier 曲线来手动更新动画对象的数值.

模拟实现

公式

cubic-bezier 公式不是简单的 y= x 公式，而是引入了第三个变量 t，由于动画中关键在于计算比例，即在总时间的某个时间点百分比得到相应的值相对于最终值的比例，那么只需要得到 0,1 区间的曲线即可。 而 [x,y] -> [0,1] 内的曲线则是通过 t 在 0,1 内连续变化而得到：

其中 P0, P1 ,P2, P3 都为两维 xy 向量

将向量拆开表示即为：

1. y= (1-t)^3*p0y + 3*(1-t)^2*t*p1y + 3*(1-t)*t^2p2y + t^3p3y
2. x= (1-t)^3*p0x + 3*(1-t)^2*t*p1x + 3*(1-t)*t^2p2x + t^3p3x

而 css3 所用的 cubic bezier 已经限定死 p0 = (0,0) , p3= (1,1) ，因此公式可简化为

1. var ax = 3 * p1x - 3 * p2x + 1,
2. bx = 3 * p2x - 6 * p1x,
3. cx = 3 * p1x;
4. var ay = 3 * p1y - 3 * p2y + 1,
5. by = 3 * p2y - 6 * p1y,
6. cy = 3 * p1y;
7. y= ((ay * t + by) * t + cy ) * t
8. x= ((ax * t + bx) * t + cx ) * t

为了提高效率以及减少计算精度丢失公式进一步经过了 Horner 's method 变化。

计算

css3 中某个限定了特定控制参数的 cubic -bezier 曲线如下所示：

动画所做的事情就是把 x 轴当做时间比例，根据曲线得到 y 轴对应的值，并更新到动画对象中去.

即转化为以下问题：如何根据上述公式在已知 x 的情况下如何得到 y.

求 t

首先需要根据公式

1. var ax = 3 * p1x - 3 * p2x + 1,
2. bx = 3 * p2x - 6 * p1x,
3. cx = 3 * p1x;
4. x= ((ax * t + bx) * t + cx ) * t

在已知 x 的情况下求 t，即经典的多项式求参问题，首先可以通过 newton method 尝试求出 t 的值，若不行（可能性很小）则可通过可靠但慢速的二分法求值.

求 y

上步得到 t 后则可以带入另一个 y 公式求得最终值 y

1. var ay = 3 * p1y - 3 * p2y + 1,
2. by = 3 * p2y - 6 * p1y,
3. cy = 3 * p1y;
4. y= ((ay * t + by) * t + cy ) * t

上述解法也是源自 webkit webcore c++ 原生实现.

使用对比

在传入动画的 easing 设置时，可以传入 css3 cubic-bezier 的语法格式或者直接传入特定的曲线设置(ease-in ease-out).

1. $('#xx').animate({
2. left:500
3. },{
4. duration: 2,
5. easing: 'cubic-bezier(1,0.22,0,0.84)' // 'ease-in'
6. });

效果对比：

cubic-bezier in kissy

通过对比即可发现，ease-out 和以前 js 实现的简单二次曲线 easeOut 还是有明显的不同，并且 js 实现和 css3 原生几乎效果完全一样（效率可能稍微低了些），更多自带曲线对比可见：

easing for kissy