BZOJ 1003 - 物流运输 - [最短路+dp]

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1003

Time Limit: 10 Sec　　Memory Limit: 162 MB

Description
　　物流公司要把一批货物从码头A运到码头B。由于货物量比较大，需要n天才能运完。货物运输过程中一般要转
停好几个码头。物流公司通常会设计一条固定的运输路线，以便对整个运输过程实施严格的管理和跟踪。由于各种
因素的存在，有的时候某个码头会无法装卸货物。这时候就必须修改运输路线，让货物能够按时到达目的地。但是
修改路线是一件十分麻烦的事情，会带来额外的成本。因此物流公司希望能够订一个n天的运输计划，使得总成本
尽可能地小。

Input
　　第一行是四个整数n（1<=n<=100）、m（1<=m<=20）、K和e。n表示货物运输所需天数，m表示码头总数，K表示
每次修改运输路线所需成本。接下来e行每行是一条航线描述，包括了三个整数，依次表示航线连接的两个码头编
号以及航线长度（>0）。其中码头A编号为1，码头B编号为m。单位长度的运输费用为1。航线是双向的。再接下来
一行是一个整数d，后面的d行每行是三个整数P（ 1 < P < m）、a、b（1< = a < = b < = n）。表示编号为P的码
头从第a天到第b天无法装卸货物（含头尾）。同一个码头有可能在多个时间段内不可用。但任何时间都存在至少一
条从码头A到码头B的运输路线。

Output
　　包括了一个整数表示最小的总成本。总成本=n天运输路线长度之和+K*改变运输路线的次数。

Sample Input
5 5 10 8

1 2 1

1 3 3

1 4 2

2 3 2

2 4 4

3 4 1

3 5 2

4 5 2

4

2 2 3

3 1 1

3 3 3

4 4 5

Sample Output
32

//前三天走1-4-5，后两天走1-3-5，这样总成本为(2+2)*3+(3+2)*2+10=32

题解：

起初我想当然地考虑每天都找最短路，然后当天最短路和前一天最短路不一样就要改动一次线路。

然后，这种方法显然是有问题的，比如第一天所有港口都能用，我走最短路长度为 $10$。但第二天某个港口 $x$ 就不能用了，要改走次短路长度为 $11$，而改动一次线路花费为 $k=1000$，那么我就花费了$1021$。但是如果我两天都走次短路，那么总花费才 $22$，显然第二种更优。因此上面那句话所描述的方法是错误的。

考虑dp的做法：假设 $dp[i]$ 表示第 $i$ 天的最少花费，可以枚举改变路线在哪一天（或者根本不改变路线），那么不难有递推公式：$dp[i] = \min (c[1][i],\min \{ 1 \le j < i|dp[j] + k + c[j+1][i]\} )$。

其中，$c[a][b]$ 应当表示在第 $[j,i]$ 天全部都走某一条路（也就是说不改变）的最少花费。

由于天数的范围很小，因此可以暴力枚举所有 $a,b$ 去求 $c[a][b]$。

AC代码（二叉堆优化dijkstra）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=;
const int maxm=;

int n,m,k,e;
int d;
bool cant[maxn][maxm];
int c[maxm][maxm];
int dp[maxm];

struct Edge{
    int u,v,w;
    Edge(int _u=,int _v=,int _w=){u=_u,v=_v,w=_w;}
};
vector<Edge> E;
vector<int> G[maxn];
void init(int l,int r)
{
    E.clear();
    for(int i=l;i<=r;i++) G[i].clear();
}
void addedge(int u,int v,int w)
{
    E.push_back(Edge(u,v,w));
    G[u].push_back(E.size()-);
}

int dist[maxn],vis[maxn];
struct Heap
{
    int sz;
    int heap[*maxn],pos[*maxn];
    void up(int now)
    {
        while(now>)
        {
            int par=now>>;
            if(dist[heap[now]]<dist[heap[par]]) //子节点小于父节点，不满足小顶堆性质
            {
                swap(heap[par],heap[now]);
                swap(pos[heap[par]],pos[heap[now]]);
                now=par;
            }
            else break;
        }
    }
    void push(int x) //插入权值为x的节点
    {
        heap[++sz]=x;
        pos[x]=sz;
        up(sz);
    }
    inline int top(){return heap[];}
    void down(int now)
    {
        while((now<<)<=sz)
        {
            int nxt=now<<;
            if(nxt+<=sz && dist[heap[nxt+]]<dist[heap[nxt]]) nxt++; //取左右子节点中较小的
            if(dist[heap[now]]>dist[heap[nxt]]) //子节点小于父节点，不满足小顶堆性质
            {
                swap(heap[now],heap[nxt]);
                swap(pos[heap[now]],pos[heap[nxt]]);
                now=nxt;
            }
            else break;
        }
    }
    void pop() //移除堆顶
    {
        heap[]=heap[sz--];
        pos[heap[]]=;
        down();
    }
    void del(int p) //删除存储在数组下标为p位置的节点
    {
        heap[p]=heap[sz--];
        pos[heap[p]]=p;
        up(p), down(p);
    }
    inline void clr()
    {
        sz=;
        memset(pos,,sizeof(pos));
    }
}h;
inline bool ok(int p,int st,int ed)
{
    for(int i=st;i<=ed;i++) if(cant[p][i]) return ;
    return ;
}
void dijkstra(int st,int ed)
{
    for(int i=;i<=n;i++) dist[i]=INF,vis[i]=;
    dist[]=;

    h.clr();
    h.push();
    while(h.sz)
    {
        int u=h.top(); h.pop();
        if(vis[u]) continue;
        vis[u]=;
        for(int i=;i<G[u].size();i++)
        {
            Edge &e=E[G[u][i]]; int v=e.v;
            if(!ok(v,st,ed)) continue;
            if(!vis[v] && dist[v]>dist[u]+e.w)
            {
                dist[v]=dist[u]+e.w;
                if(h.pos[v]) h.up(h.pos[v]);
                else h.push(v);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>m>>n>>k>>e;
    init(,n);
    for(int i=,u,v,w;i<=e;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w);
        addedge(v,u,w);
    }

    cin>>d;
    memset(cant,,sizeof(cant));
    for(int i=,p,a,b;i<=d;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&p,&a,&b);
        for(int k=a;k<=b;k++) cant[p][k]=;
    }

    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        for(int j=i;j<=m;j++)
        {
            dijkstra(i,j);
            c[i][j]=(dist[n]>=INF)?INF:(dist[n]*(j-i+));
        }
    }

    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        dp[i]=c[][i];
        for(int j=;j<i;j++) if(c[j+][i]<INF) dp[i]=min(dp[i],dp[j]+k+c[j+][i]);
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
}

AC代码（优先队列优化dijkstra）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=;
const int maxm=;

int n,m,k,e;
int d;
bool cant[maxn][maxm];
int c[maxm][maxm];
int dp[maxm];

struct Edge{
    int u,v,w;
    Edge(int _u=,int _v=,int _w=){u=_u,v=_v,w=_w;}
};
vector<Edge> E;
vector<int> G[maxn];
void init(int l,int r)
{
    E.clear();
    for(int i=l;i<=r;i++) G[i].clear();
}
void addedge(int u,int v,int w)
{
    E.push_back(Edge(u,v,w));
    G[u].push_back(E.size()-);
}

int dist[maxn],vis[maxn];
inline bool ok(int p,int st,int ed)
{
    for(int i=st;i<=ed;i++) if(cant[p][i]) return ;
    return ;
}
void dijkstra(int st,int ed)
{
    for(int i=;i<=n;i++) dist[i]=INF,vis[i]=;
    dist[]=;

    priority_queue< pii, vector<pii>, greater<pii> > Q;
    Q.push(make_pair(,));
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.top().second; Q.pop();
        if(vis[u]) continue;
        vis[u]=;
        for(int i=;i<G[u].size();i++)
        {
            Edge &e=E[G[u][i]]; int v=e.v;
            if(!ok(v,st,ed)) continue;
            if(!vis[v] && dist[v]>dist[u]+e.w)
            {
                dist[v]=dist[u]+e.w;
                Q.push(make_pair(dist[v],v));
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>m>>n>>k>>e;
    init(,n);
    for(int i=,u,v,w;i<=e;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addedge(u,v,w);
        addedge(v,u,w);
    }

    cin>>d;
    memset(cant,,sizeof(cant));
    for(int i=,p,a,b;i<=d;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&p,&a,&b);
        for(int k=a;k<=b;k++) cant[p][k]=;
    }

    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        for(int j=i;j<=m;j++)
        {
            dijkstra(i,j);
            c[i][j]=(dist[n]>=INF)?INF:(dist[n]*(j-i+));
        }
    }

    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        dp[i]=c[][i];
        for(int j=;j<i;j++) if(c[j+][i]<INF) dp[i]=min(dp[i],dp[j]+k+c[j+][i]);
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
}