OpenGL投影矩阵(Projection Matrix)构造方法

(翻译，图片也来自原文)

一、概述

绝大部分计算机的显示器是二维的(a 2D surface)。在OpenGL中一个3D场景需要被投影到屏幕上成为一个2D图像(image)。这称为投影变换(参见这或这)，需要用到投影矩阵(projection matrix)。

首先，投影矩阵会把所有顶点坐标从eye coordinates(观察空间，eye space或view space)变换到裁剪坐标(clip coordinated，属于裁剪空间，clip space)。然后，这些裁剪坐标被变换到标准化设备坐标(normalized device coordinates, NDC，即坐标范围在-1到1之间)，这一步是通过用用裁剪坐标的$w_c$分量除裁剪坐标实现的。

因此，我们要记住投影矩阵干了两件事: 裁剪clipping(即frustum culling，视景体剔除)和生成NDC。下文会讲述如何根据6个参数(left, right, bottom, top, near和far边界值)来构建投影矩阵。

注意视景体剔出(也即clipping)是在裁剪坐标下完成的，是早于用$w_c$(即上面提到的$w$分量,c表示clipping)除裁剪坐标的(它会生成NDC)。裁剪坐标$x_c, y_c, z_c$会与$w_c$进行比较。如果裁剪坐标比$-w_c$小或者比$w_c$大，则丢弃这个顶点(vertex)。即经裁剪后剩余的顶点的裁剪坐标满足:$-w_c < x_c, y_c, z_c < w_c$。OpenGL会成发生裁剪的地方生成新的边，如下图1，一个三角形经裁后，成了一个梯形，两条红色的边就是裁剪后新生成的。

(图1. 一个被视体裁剪的三角形)

一般常用的有透视投影和正交投影，相应地也就有两种投影矩阵。

二、透视投影(Perspective Projection)

(图2. 透视投影中的视景体和标准化设备坐标NDC)

在透视投影中，一个3D point是在一个截头锥体中(truncated pyramid frustum,上面图2左图，即一个棱台)，会被映射到一个立方体(NDC坐标空间)中，x坐标范围从[1, r]变成了[-1, 1]，y坐标范围从[b, t]变成了[-1, 1]，z坐标从[-n, -f]变成了[-1, 1]。

注意在view space中(即eye coordinate)，OpenGL使用的是右手坐标系(上面图2左图)，但是在NDC中使用的是左手坐标系(上面图2右图)。这样的话，在view space中camera位于坐标原点看向-z轴，而在NDC中camera是看向+z轴的。上面图2中的n表示近裁剪面(near plane)，是正值。因为glFrustum()接受的near、far的值是正的，所以在在构造投影矩阵时，要为它们取负(negate them)。

在OpenGL中，view space(又称为eye space)中的一个3D point被投影到近裁剪面(此处用近裁剪面作投影平面，projection plane)上。下图3和图4显示了eye space中的一个点$(x_e, y_e, z_e)$是怎样被投影成近裁剪面上的一个点$(x_p, y_p, z_p)$。

(图3. 视景体的俯视图)

(图4.视景体的侧视图)

从视景体的俯视图(图3)看，x轴坐标$x_e$被映射成为$x_p$，而$x_p$可以根据三角形相似形计算出来:

\[\frac{x_p}{x_e}=\frac{-n}{z_e} \Longrightarrow x_p = \frac{-n\cdot x_e}{z_e}=\frac{n\cdot x_e}{-z_e}
\]

从视景体的侧视图(图4)看，可以用相似的方法计算出$y_p$:

\[\frac{y_p}{y_e}=\frac{-n}{z_e} \Longrightarrow y_p = \frac{-n\cdot y_e}{z_e}=\frac{n\cdot y_e}{-z_e}
\]

注意$x_p$和$y_p$都依赖$z_e$并与$-z_e$成反比。这是构建投影矩阵的第一个线索。在eye coordinates被投影矩阵乘后，得到的裁剪坐标仍然是齐次坐标(homogeneous coordinates)。最终它需要除以裁剪坐标的w分量，才能变成标准化设备坐标(NDC)。

\[\left(
\begin{matrix}
x_{clip}\\
y_{clip}\\
z_{clip}\\
w_{clip}
\end{matrix}
\right) = M_{projection}\cdot \left(
\begin{matrix}
x_{eye}\\
y_{eye}\\
z_{eye}\\
w_{eye}
\end{matrix}
\right),
\left(
\begin{matrix}
x_{ndc}\\
y_{ndc}\\
z_{ndc}
\end{matrix}
\right)=\left(
\begin{matrix}
\frac{x_{clip}}{w_{clip}}\\
\frac{y_{clip}}{w_{clip}}\\
\frac{z_{clip}}{w_{clip}}
\end{matrix}
\right)
\]

因此，我们可以把裁剪坐标的w分量设置为$-z_e$，则投影矩阵第4行变为(0, 0, -1, 0)。

\[\left(
\begin{matrix}
x_c\\
y_c\\
z_c\\
w_c
\end{matrix}
\right)=\left(
\begin{matrix}
\cdot & \cdot &\cdot &\cdot\\
\cdot & \cdot &\cdot &\cdot\\
\cdot & \cdot &\cdot &\cdot\\
0 & 0 & -1 & 0
\end{matrix}
\right) \left(
\begin{matrix}
x_e\\
y_e\\
z_e\\
w_e
\end{matrix}
\right),
\therefore w_c=-z_e
\]

接下来，我们把刚计算得到的$x_p, y_p$线性地(with linear relationship)映射到NDC中的$x_n, y_n$(这里的n表示NDC)：$[l, r] \Rightarrow [-1, 1]$，$[b, t] \Rightarrow [-1, 1]$。

(图5. 把$x_p$映射到$x_n$)

因为$x_p$和$x_n$之间是线性映射关系，如图5，所以可设两者之间的映射函数为:

\[x_n = \frac{1-(-1)}{r-l}\cdot + \beta
\]

把$(x_p, x_n) = (r, l)$代入上面方程得:

\[1 = \frac{2r}{r-l}+\beta
\]

所以

\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\beta&=1 - \frac{2r}{r-l}=\frac{r-l}{r-l} - \frac{2r}{r-l}\\
&=\frac{r-l-2r}{r-l}=\frac{-r-l}{r-l}=-\frac{r+l}{r-l}
\end{aligned}
\end{equation}
\\
\therefore x_n=\frac{2x_p}{r-l}-\frac{r+l}{r-l}
\]

同理，可以求出$y_p$和$y_n$之间的关系表达式，如图6及以下公式：

(图6.把$y_p$映射到$y_n$)

\[y_n = \frac{1-(-1)}{t-b}\cdot y_p + \beta
\]

用$ (y_p, y_n)=(t,1)$代入上式得

\[1 = \frac{2t}{t-b}+\beta\\

\begin{equation}
\begin{aligned}
\beta &= 1 - \frac{2t}{t-b} = \frac{t-b}{t-b} - \frac{2t}{t-b}\\
&=\frac{t-b-2t}{t-b}=\frac{-t-b}{t-b}=-\frac{t+b}{t-b}
\end{aligned}
\end{equation}
\\
\therefore y_n=\frac{2y_p}{t-b}-\frac{t+b}{t-b}
\]

接下来，把上上面求得的$x_p=\frac{nx_e}{-z_e}$和$y_p=\frac{ny_e}{-z_e}$代入刚刚求到的线性关系式得:

\[\begin{equation}
\begin{aligned}
x_n &= \frac{2x_p}{r-l}-\frac{r+l}{r-l}\\
&= \frac{2\cdot \frac{n\cdot x_e}{-z_e}}{r-l}-\frac{r+l}{r-l}\\
&= \frac{2n\cdot x_e}{(r-l)(-z_e)} - \frac{r+l}{r-l}\\
&= \frac{\frac{2n}{r-l}\cdot x_e}{-z_e} - \frac{r+l}{r-l}\\
&= \frac{\frac{2n}{r-l}\cdot x_e}{-z_e} + \frac{\frac{r+l}{r-l}\cdot z_e}{-z_e}\\
&= \left. \left(\underbrace{\frac{2n}{r-l}\cdot x_e + \frac{r+l}{r-l}\cdot z_e}_{x_c}\right) \middle/ (-z_e) \right.
\end{aligned}
\end{equation}
\]

\[\begin{equation}
\begin{aligned}
y_n &= \frac{2y_p}{t-b} - \frac{t+b}{t-b}\\
&= \frac{2\cdot \frac{n\cdot y_e}{-z_e}}{t-b} - \frac{t+b}{t-b}\\
&= \frac{2n\cdot y_e}{(t-b)(-z_e)} - \frac{t+b}{t-b}\\
&= \frac{\frac{2n}{t-b}\cdot y_e}{-z_e} - \frac{t+b}{t-b}\\
&= \frac{\frac{2n}{t-b}\cdot y_e}{-z_e} + \frac{\frac{t+b}{t-b}\cdot z_e}{-z_e}\\
&= \left. \left(\underbrace{\frac{2n}{t-b}\cdot y_e + \frac{t+b}{t-b}\cdot z_e}_{y_c}\right) \middle/ (-z_e) \right.
\end{aligned}
\end{equation}
\]

注意上面刚刚求得的$x_n, y_n$是NDC坐标，而NDC应该是由裁剪坐标除以$w_c$得到，也即透视除法(perspective division), $(x_c/w_c, y_c/w_c)$。又因为，之前我们把$w_c$的值设置为$-z_e$，所以上面$x_n, y_n$表达式中括号里的部分表示裁剪空间的坐标$x_c, y_c$。

加上上面的两个方程，我们可以找到投影矩阵的第1行和第2行:

\[\begin{equation}
\left(
\begin{matrix}
x_c\\
y_c\\
z_c\\
w_c
\end{matrix}
\right)
=\left(
\begin{matrix}
\frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0\\
0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot\\
0 & 0 & -1 & 0
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
x_e\\
y_e\\
z_e\\
w_e
\end{matrix}
\right)
\end{equation}
\]

现在矩阵只剩下第三行是待求解的。在eye space中$z_e$总是被投影到近裁剪面(near plane)上，即值总是为-n。但是我们为了完成裁剪(clipping)和深度测试(depth test)，每一个顶点应该具有不同的z值。此外，投影变换应该是可逆的。既然我们知道z不依赖于x和y的值，那么我们就借用w分量来找到$z_n$和$z_e$之间的关系。因此，我们可以指定第三行长这样:

\[\begin{equation}
\left(
\begin{matrix}
x_c\\
y_c\\
z_c\\
w_c
\end{matrix}
\right)
=\left(
\begin{matrix}
\frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0\\
0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0\\
0 & 0 & A & B\\
0 & 0 & -1 & 0
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
x_e\\
y_e\\
z_e\\
w_e
\end{matrix}
\right)
\end{equation},
z_n=z_c/w_c=\frac{Az_e + Bw_e}{-z_e}
\]

因为在eye space中，$w_e$总是等于1，因此：

\[z_n = \frac{Az_e + B}{-z_e}
\]

(注意，$w_c = -z_e, w_e=1$别搞混淆了)

为了找到系数A和B，我们把$(z_e, z_n)$之间的关系: (-n, -1)和(-f, 1)，代入上面这个等式中，得到:

\[\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lr}
\frac{-An+B}{n} = -1 & \\
\frac{-Af+B}{f} = 1 &
\end{array}
\right.
\end{equation}
\\
\Downarrow
\]

\[\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lr}
-An + B = -n & (1)\\
-Af + B = f & (2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
\]

由方程(1)可得:

\[\begin{equation}
\begin{array}{lr}
B=An-n & (1')
\end{array}
\end{equation}
\]

把方程(1')代入到方程(2)，可解出A:

\[\begin{equation}
\begin{array}{lr}
-Af + (An-n) = f & (2')\\
-(f-n)A=f+n &\\
A=-\frac{f+n}{f-n}&
\end{array}
\end{equation}
\]

把A的值代入方程(1')可求得B:

\[\begin{equation}
\begin{aligned}
B &=-n - \left(\frac{f+n}{f-n}\right)n=-\left(1+\frac{f+n}{f-n}\right)n\\
&= -\frac{2fn}{f-n}
\end{aligned}
\end{equation}
\]

有了A和B，则$z_e$和$z_n$之间的关系表达式为:

\[\begin{equation}
\begin{aligned}
z_n = \frac{-\frac{f+n}{f-n}z_e - \frac{2fn}{f-n}}{-z_e} &\quad (3)
\end{aligned}
\end{equation}
\]

最后，完整的投影矩阵为:

\[\left(
\begin{matrix}
\frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0\\
0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0\\
0 & 0 & \frac{-(f+n)}{f-n} & \frac{-2fn}{f-n}\\
0 & 0 & -1 & 0
\end{matrix}
\right)
\]

上面这是一个通用视景体的投影矩阵。当视景体是对称时，即r=-l, t=-b，则:

\[\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lr}
r+l=0\\
r-l=2r
\end{array}
\right.
\end{equation}
\]

\[\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lr}
t+b=0\\
t-b=2t
\end{array}
\right.
\end{equation}
\]

故投影矩阵可以简化为:

\[\left(
\begin{matrix}
\frac{n}{r} & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{n}{t} & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{-(f+n)}{f-n} & \frac{-2fn}{f-n}\\
0 & 0 & -1 & 0
\end{matrix}
\right)
\]

透视投影矩阵我们已经求出来了，在继续往下探讨之前，请再看一下上面的方程(3)，即:

\[\begin{equation}
\begin{aligned}
z_n = \frac{-\frac{f+n}{f-n}z_e - \frac{2fn}{f-n}}{-z_e} &\quad (3)
\end{aligned}
\end{equation}
\]

可以看到它是一个有理函数(rational function)，且是一个非线性函数。这意味着在近裁剪面(near plane)附近，它具有很高的精度(very high precision)，而在远裁剪面(far plane)附近具有非常小的精度(very little precision)。如果[-n, -f]的范围比较大，它会造成深度值精度问题(z-fighting)，即可能在离far plane比较近的地方，当$z_e$的值差异较小时，它们对应的$z_n$值相同，或者说当一个$z_e$值发生小的变化时，对应的$z_n$不受影响(即值不变)。这会产生错误的视觉效果。如下面图7所示，在远裁剪面附近，$z_n$的值几乎不随$z_e$发生变化。

(图7. 深度缓存的精度比较)

一些避免z-fighting的方法:

首先也是最重要的技巧是不要把物体放的太近。即使是视觉效果上贴在一块的物体，也可以把它们稍微分开一点，只要肉眼看不到即可。
把近裁剪面设置的尽可能远。因为上面说过，离近裁剪面近的地方，精度会高。但这样可能造成离camera很近的物体被裁剪掉。这需要大量实验才能找到适合的距离。
尽量缩短n和f之间的距离。这和上一条其实一样。
使用更高精度的depth buffer。现在一般depth bufer中depth value使用16, 24或32 bit的flotas。大部分系统使用的是24 bits的floats。因此可以改成使用32 bits的depth buffer。但这样会增加一点性能负担。

三、正交投影

构建正交投影矩阵相对来说会简单一些。

(图8. 正交投影视景体及对应的NDC)

在eye space中，所有$x_e, y_e, z_e$分量是线性映射到NDC中的。我们只需要把一个长方体(rectangular volume)所表达的体积缩放成一个立方体(cube)，并把它移动到原点(如图8)。下面我们将使用线性映射关系(linear relationship)来找到正交投影矩阵的各个元素。

(图9. 把$x_e$映射到$x_n$)

\[\begin{equation}
\begin{aligned}
x_n &= \frac{1-(-1)}{r-l}\cdot x_e + \beta\\
1&=\frac{2r}{r-l} + \beta, (substitute (r, 1) for (x_e, x_n))\\
\beta &= 1 - \frac{2r}{r-l}=-\frac{r+l}{r-l}\\
\therefore x_n &= \frac{2}{r-l}\cdot x_e - \frac{r+l}{r-l}
\end{aligned}
\end{equation}
\]

(图10. 把$y_e$映射到$y_n$)

\[\begin{equation}
\begin{aligned}
y_n &= \frac{1-(-1)}{t-b}\cdot y_e + \beta\\
1 &= \frac{2t}{t-b}+\beta, (substitute (t, 1) for (y_e, y_n))\\
\beta &= 1 - \frac{2t}{t-b} = -\frac{t+b}{t-b}\\
\therefore y_n &= \frac{2}{t-b}\cdot y_e - \frac{t+b}{t-b}
\end{aligned}
\end{equation}
\]

(图11. 把$z_e$映射到$z_n$)

\[\begin{equation}
\begin{aligned}
z_n &= \frac{1-(-1)}{-f-(-n)}\cdot z_e + \beta\\
1 &=\frac{2f}{f-n} + \beta, (substitute (-f, 1) for (z_e, z_n))\\
\beta &= 1 - \frac{2f}{f-n}=-\frac{f+n}{f-n}\\
\therefore z_n &= \frac{-2}{f-n}\cdot z_e - \frac{f+n}{f-n}
\end{aligned}
\end{equation}
\]

因为对于正交投影w分量不是必须的，所以正交投影矩阵的第4行为(0, 0, 0, 1)。因此完整的正交投影矩阵为:

\[\left(
\begin{matrix}
\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l}\\
0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b}\\
0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n}\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right)
\]

如果视景体对称的话，即r=-l, t=-b, 则:

\[\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lr}
r+l=0 \\
r-l=2r
\end{array}
\right.
\end{equation}
\]

\[\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lr}
t+b=0 \\
t-b=2r
\end{array}
\right.
\end{equation}
\]

故正交投影矩阵被简化为:

\[\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{r} & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{1}{t} & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{-2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n}\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right)
\]

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