数位DP入门详解+题目推荐

\(update:2019-9-6\)

博客里某些东西没有解释清楚，完善了对应的解释

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在开始之前，我们先来看一道题——题目链接

题目要求，相邻两位的差大于等于2，那么我们先来构造一个试一试。

比如说\(15246\)这个数，我们先取第一位为\(1\)，然后第二位是\(5\)，\(5-1=4>2\)所以符合条件，第三位是\(2\)，\(5-2=3>2\)符合条件，第四位是\(4\)，\(4-2=2\)符合条件，第五位是\(6\)，\(6-4=4\)符合条件，所以这个数使符合条件的。

那么问题来了，如果我们一个数一个数的构造，复杂度显然是有问题的，我们就需要对其进行优化。来看\(15246\)和\(96246\)这两个数，他们都是符合规则的，而且它们后三位是相同的，那么我们很容易可以联想到，只要倒数第四位与\(2\)的差符合规则，那么只要后三位是\(246\)就一定是符合规则的，也就是说我们根本不需要去重复判断。

有没有想到什么熟悉的东西？没错，记忆化！从前往后构造，当后几位已经被处理过，我们就可以直接使用，而不是重新判断，大大节省了时间。那么我们就可以用\(f[pos][pre]\)来记录当前位为第\(pos\)位，上一位为数值为\(pre\)，且不含前导零，没有卡在最大值上时，能够对答案产生的贡献。

那么判断也就很简单了，只需要枚举下一位，看和当前位的差是否满足规则即可。题目又要求不含前导零，也就是除了\(0\)本身以外的任何数不准用\(0\)开头，那么从第一位开始，我们记录有前导\(0\)当有一位不为\(0\)之后，把状态记录为不含前导零，前导零后的第一个不为零位无任何限制。

那么我们来看一下程序吧

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cmath>
#define ll long long
#define gc() getchar()
#define maxn 15
using namespace std;

inline ll read(){
	ll a=0;int f=0;char p=gc();
	while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
	while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
	return f?-a:a;
}
void write(ll a){
	if(a>9)write(a/10);
	putchar(a%10+'0');
}

int x,y,d[maxn],l;
ll f[maxn][maxn];
ll dfs(int pos,int pre,bool limit,bool lead){  //pos表示从后往前数第pos位，pre记录前一位我们选择的数值，limit记录当前是不是卡着最大值，如果卡着最大值就不能从[0,9]中任意选数，而是在[0,区间右端点当前位的数值]之间选数，lead就是记录前导零的问题了
	if(!pos)return 1;  //如果所有位都已经构造完了，说明这是一个合法数值，贡献加一
	if(!limit&&!lead&&~f[pos][pre])return f[pos][pre];  //如果已经处理过特殊要求均相同的情况，直接返回答案，避免重复计算
	int up=limit?d[pos]:9;ll ans=0;  //up就是当前位选数的右端点
	for(int i=0;i<=up;++i){  //枚举构造
		if(abs(i-pre)<2&&!lead)continue;  //如果不合法则跳过
		ans+=dfs(pos-1,i,limit&&i==d[pos],lead&&!i);
	}
	if(!limit&&!lead)f[pos][pre]=ans;  //这里有多种写法，其实就是要求你把各种特殊状态都记录下来
	return ans;
}

ll solve(int k){
	l=0;
	while(k){  //这里是为了记录一下当前范围最大是几位
		d[++l]=k%10;
		k/=10;
	}
	return dfs(l,0,1,1);
}

int main(){memset(f,-1,sizeof f);
	x=read();y=read();
	write(solve(y)-solve(x-1));  //答案要求是[x,y]之间的windy数，所以减去[0,x)的windy数即可
	return 0;
}

下面我们再来看两道题，一道是ZJOI2010数字计数，另一道是CQOI2016的手机号码

对于这两道题，还是跟刚才一样——先构造。

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数字计数这道题就是要求统计每个数出现的次数，那么我们只需要分开统计，每次只统计一个数字，重复十次即可，需要记录的特殊情况就是前导零还有边界情况

下面是代码（就不再附详细解释了）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define ll long long
#define gc() getchar()
#define maxn 15
using namespace std;

inline ll read(){
	ll a=0;int f=0;char p=gc();
	while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
	while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
	return f?-a:a;
}
void write(ll a){
	if(a>9)write(a/10);
	putchar(a%10+'0');
}

int l,d[maxn];
ll x,y,f[maxn][maxn];
ll dfs(int pos,int s,int x,bool limit,bool lead){
	if(!pos)return s;
	if(!limit&&!lead&&~f[pos][s])return f[pos][s];
	int up=limit?d[pos]:9;ll ans=0;
	for(int i=0;i<=up;++i)
		ans+=dfs(pos-1,s+(i==0?(!lead&&x==0):i==x),x,limit&&i==d[pos],lead&&!i);
	if(!limit&&!lead)f[pos][s]=ans;
	return ans;
}

ll solve(ll k,int a){
	l=0;
	while(k){
		d[++l]=k%10;
		k/=10;
	}
	return dfs(l,0,a,1,1);
}

int main(){
	x=read();y=read();
	for(int i=0;i<=9;++i){
		memset(f,-1,sizeof f);
		printf("%lld ",solve(y,i)-solve(x-1,i));
	}
	return 0;
}

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那么对于手机号码这道题，需要记录的特殊状态就比较多了，分别是前导零，边界情况，前两位的数值以及是否出现8和是否出现4

那么代码还是大同小异，只是加了几个判断而已

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define ll long long
#define gc getchar
#define maxn 15
using namespace std;

inline ll read(){
	ll a=0;int f=0;char p=gc();
	while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
	while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
	return f?-a:a;
}ll l,r;int d[maxn];

ll f[maxn][maxn][maxn][5][5][5][5];
ll dfs(int pos,int pre,int pre2,int limit,int c,int ba,int si){
	if(ba&si)return 0;
	if(!pos)return c;
	if(~f[pos][pre][pre2][limit][c][ba][si])
		return f[pos][pre][pre2][limit][c][ba][si];
	int up=limit?d[pos]:9,down=pos==11;ll sum=0;
	for(int i=down;i<=up;++i)
		sum+=dfs(pos-1,i,pre,limit&(i==up),c|(i==pre&&i==pre2),ba|(i==8),si|(i==4));
	return f[pos][pre][pre2][limit][c][ba][si]=sum;
}
inline ll solve(ll x){memset(f,-1,sizeof f);
	memset(d,0,sizeof d);
	if(x<1e10)return 0;
	int len=0;
	while(x){
		d[++len]=x%10;
		x/=10;
	}
	return dfs(len,11,11,1,0,0,0);
}

int main(){
	l=read();r=read();
	printf("%lld\n",solve(r)-solve(l-1));
	return 0;
}

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题目推荐

[HAOI2010]计数

[AHOI2009]同类分布

那么数位DP大概就是这个样子，很简单，也很明显

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