状压DP入门详解+题目推荐

在动态规划的题型中，一般叫什么DP就是怎么DP，状压DP也不例外

所谓状态压缩，一般是通过用01串表示状态，充分利用二进制数的特性，简化计算难度。举个例子，在棋盘上摆放棋子的题目中，我们可以用1表示当前位置摆放棋子，用0表示当前位置不摆放棋子。

这样的话，就能够直接运用许多二进制运算的特性来实现对时间和空间的优化

例如：如果给你一个\(n*m\)的棋盘，让你放棋子，但是棋子两两不能相邻，求方案数

我们仅考虑暴力枚举每一行的情况，如果是普通用数组来存储，判断的时候对于相邻两行需要一个数一个数的看，不论是时间还是空间，都很难让人接受

但是如果用一个二进制数来存储每一行的情况，对于相邻两行，我们只需要进行一下与运算，如果有值，就说明不合法，这样不论是时间还是空间上，都进行了极大的优化

当然，这并不是说状压DP就是暴力枚举，这里只是举个例子来解释一下状压DP中的状态压缩这个过程

看完上面这些，还是不知道这是个什么东西，所以我们结合一道题目来演示一下，什么是状压DP

互不侵犯

这是一道非常经典的状压例题，题意过于简单，我们不再赘述

我们首先考虑一下国王的特性：能够攻击到八个方向的棋子。也就是说，如果某个位置放置了棋子，它的九宫格内就不能再放置了。

我们可以将问题拆解，把九宫格看为三行，就可以分开考虑了

首先我们先考虑在当前行的棋子，只要一个棋子的左右没有相邻的棋子，那么就不冲突

再考虑上面那一行，只要一个棋子正上即左右侧上没有棋子则合法

最后再考虑一下下面那一行是否满足条件

那么我们只要枚举所有情况，再判断就可以了

显然，这样做复杂度实在太高了，9*9的棋盘计算到人类灭亡连枚举都枚举不完

看来我们需要把算法优化一下

我们考虑可不可以逐行枚举，先对每行的状态进行判断，在对上面一行和下面一行进行判断。我们会发现这样的做法是可行的，而且判断下一行是没有意义的，因为我们是逐行枚举，下一行还没枚举到有什么好枚举的。那么我们又会发现，这不是递推嘛。可是这样还是有点慢，怎么优化呢？

下面就是状压时刻了

我们可以在一开始将所有行内可行状态存储下来，由于可行状态远远小于总的状态数，这样可以大大优化我们的复杂度。如何判断这种状态是否没有冲突呢？用与运算就可以轻松判断。我们先预处理好第一行的情况，然后递推即可。

下面来看一下代码吧（内附详解）

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#define ll long long
#define gc getchar
#define maxn 10
#define maxm 105     //由于可行状态占比极小，所以行内的可行状态不到100
using namespace std;

inline ll read(){
	ll a=0;int f=0;char p=gc();
	while(!isdigit(p)){f|=p=='-';p=gc();}
	while(isdigit(p)){a=(a<<3)+(a<<1)+(p^48);p=gc();}
	return f?-a:a;
}

int get(int x){     //求当前状态中1的数量
	int sum=0;
	while(x){
		++sum;
		x&=x-1;    //初赛考了，你做对了吗
	}
	return sum;
}

int n,m,N,tot,s[maxm],w[maxm];    //s[i]表示第i种可行状态的具体摆放，w[i]表示第i种状态棋子的个数
ll ans,f[maxn][maxm][maxm];    //ans最终用来统计答案，f[i][j][l]表示第i行状态为第j种摆放l个棋子的方案数
int main(){
	n=read();m=read();N=1<<n;
	for(int i=0;i<N;++i){
		if(i&i<<1)continue;  //如果非零说明有相邻棋子，则不合法
		s[++tot]=i;
		w[tot]=get(i);
		f[1][tot][w[tot]]=1;    //第一行需要单独初始化
	}
	for(int i=2;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=tot;++j)
			for(int k=1;k<=tot;++k){
				if(s[j]&s[k])continue;    //三种与上一行有冲突的情况
				if(s[j]&s[k]<<1)continue;
				if(s[k]&s[j]<<1)continue;
				for(int l=w[j];l<=m;++l)     //这里非常重要！！l的取值影响到f数组的意义，l如果是从w[j]开始，那么f数组表示的是这一行及以前所有放l个棋子的方案数；如果l从w[j]+1开始，那么f数组表示的是到这一行正好有l个棋子的方案数，以前够了l个棋子的方案则没有被记录在这里面。这会影响到最后统计答案的，并且样例太水并不能看出来。这里一定要注意！！！
					f[i][j][l]+=f[i-1][k][l-w[j]];
			}
	for(int i=1;i<=tot;++i)    //统计答案就很简单了。不过如果是l是另一种写法还需要枚举1~n
		ans+=f[n][i][m];
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

这就是状压DP，你是否理解了呢？不妨自己打一遍代码，能够加深理解哦。

例题

中国象棋

玉米田

染色（一道我认为可用四进制状压解决的题目，如果有神仙成功了，希望能够告诉我一声，以证明我没口胡错）

山贼集团

茫茫人海相遇也算缘分，点个推荐好不好\(QwQ\)