线性回归——lasso回归和岭回归（ridge regression）

线性回归——最小二乘
Lasso回归和岭回归
为什么 lasso 更容易使部分权重变为 0 而 ridge 不行？
References

线性回归很简单，用线性函数拟合数据，用 mean square error (mse) 计算损失（cost），然后用梯度下降法找到一组使 mse 最小的权重。

lasso 回归和岭回归（ridge regression）其实就是在标准线性回归的基础上分别加入 L1 和 L2 正则化（regularization）。

本文的重点是解释为什么 L1 正则化会比 L2 正则化让线性回归的权重更加稀疏，即使得线性回归中很多权重为 0，而不是接近 0。或者说，为什么 L1 正则化（lasso）可以进行 feature selection，而 L2 正则化（ridge）不行。

线性回归——最小二乘

线性回归（linear regression），就是用线性函数 $f(\bm x) = \bm w^{\top} \bm x + b$ 去拟合一组数据 $D = \{(\bm x_1, y_1), (\bm x_2, y_2), ..., (\bm x_n, y_n)\}$ 并使得损失 $J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2$ 最小。线性回归的目标就是找到一组 $(\bm w^*, b^*)$，使得损失 $J$ 最小。

线性回归的拟合函数（或 hypothesis）为：
\[
f(\bm x) = \bm w^{\top} \bm x + b
\tag{1}
\]

cost function (mse) 为：
\[
\begin{split}
J &= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2
\\ & = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2
\end{split}
\tag{2}
\]

Lasso回归和岭回归

Lasso 回归和岭回归（ridge regression）都是在标准线性回归的基础上修改 cost function，即修改式（2），其它地方不变。

Lasso 的全称为 least absolute shrinkage and selection operator，又译最小绝对值收敛和选择算子、套索算法。

Lasso 回归对式（2）加入 L1 正则化，其 cost function 如下：
\[
J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2 + \lambda \|w\|_1
\tag{3}
\]

岭回归对式（2）加入 L2 正则化，其 cost function 如下：
\[
J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2 + \lambda \|w\|_2^2
\tag{4}
\]

Lasso回归和岭回归的同和异：

相同：
- 都可以用来解决标准线性回归的过拟合问题。
不同：
- lasso 可以用来做 feature selection，而 ridge 不行。或者说，lasso 更容易使得权重变为 0，而 ridge 更容易使得权重接近 0。
- 从贝叶斯角度看，lasso（L1 正则）等价于参数 $\bm w$ 的先验概率分布满足拉普拉斯分布，而 ridge（L2 正则）等价于参数 $\bm w$ 的先验概率分布满足高斯分布。具体参考博客从贝叶斯角度深入理解正则化 -- Zxdon 。

也许会有个疑问，线性回归还会有过拟合问题？

加入 L1 或 L2 正则化，让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。

可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什幺影响，一种流行的说法是『抗扰动能力强』。具体参见博客浅议过拟合现象(overfitting)以及正则化技术原理。

为什么 lasso 更容易使部分权重变为 0 而 ridge 不行？

lasso 和 ridge regression 的目标都是 $\min_{\bm w, b} J$，式（3）和（4）都是拉格朗日形式（with KKT条件），其中 $\lambda$ 为 KKT 乘子，我们也可以将 $\min_{\bm w, b} J$ 写成如下形式：

lasso regression:
\[
\begin{array}{cl}
{\min \limits_{w, b}} & {\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2}
\\ {\text{s.t.}} &{\|w\|_1 \le t}
\end{array}
\tag{5}
\]
ridge regression:
\[
\begin{array}{cl}
{\min \limits_{w, b}} & {\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2}
\\ {\text{s.t.}} &{\|w\|_2^2 \le t}
\end{array}
\tag{6}
\]

式（5）和（6）可以理解为，在 $\bm w$ 限制的取值范围内，找一个点 $\hat{\bm w}$ 使得 mean square error 最小，$t$ 可以理解为正则化的力度，式（5）和（6）中的 $t$ 越小，就意味着式（3）和（4）中 $\lambda$ 越大，正则化的力度越大。

以 $\bm x \in R^2$ 为例，式（5）中对 $\bm w$ 的限制空间是方形，而式（6）中对 $\bm w$ 的限制空间是圆形。因为 lasso 对 $\bm w$ 的限制空间是有棱角的，因此 $\arg \min_{w, b} {\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2}$ 的解更容易切在 $\bm w$ 的某一个维为 0 的点。如下图所示：

Fig.1[1] Lasso (left) and ridge (right) regression.

Fig. 1 中的坐标系表示 $\bm w$ 的两维，一圈又一圈的椭圆表示函数 $J = {\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2}$ 的等高线，椭圆越往外，$J$ 的值越大，$\bm w^*$ 表示使得损失 $J$ 取得全局最优的值。使用 Gradient descent，也就是让 $\bm w$ 向着 $\bm w^*$ 的位置走。如果没有 L1 或者 L2 正则化约束，$\bm w^*$ 是可以被取到的。但是，由于有了约束 $\|w\|_1 \le t$ 或 $\|w\|_2^2 \le t$，$\bm w$ 的取值只能限制在 Fig. 1 所示的灰色方形和圆形区域。当然调整 $t$ 的值，我么能够扩大这两个区域。

等高线从低到高第一次和 $\bm w$ 的取值范围相切的点，即是 lasso 和 ridge 回归想要找的权重 $\hat{\bm w}$。

lasso 限制了 $\bm w$ 的取值范围为有棱角的方形，而 ridge 限制了 $\bm w$ 的取值范围为圆形，等高线和方形区域的切点更有可能在坐标轴上，而等高线和圆形区域的切点在坐标轴上的概率很小。这就是为什么 lasso（L1 正则化）更容易使得部分权重取 0，使权重变稀疏；而 ridge（L2 正则化）只能使权重接近 0，很少等于 0。

正是由于 lasso 容易使得部分权重取 0，所以可以用其做 feature selection，lasso 的名字就指出了它是一个 selection operator。权重为 0 的 feature 对回归问题没有贡献，直接去掉权重为 0 的 feature，模型的输出值不变。

对于 ridge regression 进行 feature selection，你说它完全不可以吧也不是，weight 趋近于 0 的 feature 不要了不也可以，但是对模型的效果还是有损伤的，这个前提还得是 feature 进行了归一化。

References

[1] Tibshirani, R. (1996). Regression Shrinkage and Selection Via the Lasso. Journal Of The Royal Statistical Society: Series B (Methodological), 58(1), 267-288. doi: 10.1111/j.2517-6161.1996.tb02080.x
[2] Lasso算法 -- 维基百科
[3] 机器学习总结(一)：线性回归、岭回归、Lasso回归 -- 她说巷尾的樱花开了
[4] 从贝叶斯角度深入理解正则化 -- Zxdon
[5] 浅议过拟合现象(overfitting)以及正则化技术原理 -- 闪念基因