Luogu P3228 HNOI2013 数列 组合数学

题面

看了题解的推导发现其实并不复杂，但是如果你想要用多项式或者组合数求解的话，就GG了

其实如果把式子列出来的话，不需要怎么推导就能算出来，关键是要想到这个巧妙的式子。

设\(b_i=a_{i+1}-a_{i}(1\leq i\leq k-1)\)

答案就是

\[\sum_{b_1=1}^{m}\sum_{b_2=1}^{m}...\sum_{b_{k-1}=1}^{m}(n-\sum_{i=1}^{k-1}b_i)
\]

\[nm^{k-1}-\sum_{i=1}^{k-1}\sum_{b_1=1}^{m}\sum_{b_2=1}^{m}...\sum_{b_{k-1}=1}^{m}b_i
\]

\[nm^{k-1}-(k-1)m^{k-2}\sum_{i=1}^{m}i
\]

\[nm^{k-1}-(k-1)m^{k-2}\frac{m(m+1)}{2}
\]

然后直接算就可以了

这题的关键在于\((k-1)m<n\)，它保证了\((n-\sum_{i=1}^{k-1}b_i)\)非负，这样就只需要对每一个序列\(\{b_i\}\)简单地累加贡献就可以了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,k,m,P;
ll p2(ll x){return x*x%P;}
ll pw(ll x,ll p)
{
	return p?p2(pw(x,p/2))*(p&1?x:1)%P:1;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&P);
	n%=P;
	if(k==1)return printf("%lld\n",n),0;
	ll a=n*pw(m,k-1)%P;
	ll b=m*(m+1)/2%P*(k-1)%P*pw(m,k-2)%P;
	ll ans=(a-b+P)%P;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}