[洛谷P5304][GXOI/GZOI2019]旅行者

题目大意： 有一张 \(n(n\leqslant10^5)\) 个点 \(m(m\leqslant5\times10^5)\) 条边的有向有正权图，有\(k(2\leqslant k\leqslant n)\)个关键点。问图中最近的两个关键点的距离。多组数据。

题解： 有两种方法。

1. 可对\(k\)个关键点二进制分组，可以知道\(x\)与\(y\)不同至少满足二进制上有一位不同，每次按二进制中的一位分成两组，，建一个虚点连向所有的源点，跑 \(dijkstra\) ，总共跑 \(\log_2n\) 次。复杂度 \(O(n\log_2^2n)\) 。代码我没写

2. 令 \(F_i\) 表示可以走到第\(i\)个点的最近关键点，\(f_i\) 为 \(dis_{F_i,i}\) ， \(T_i\) 表示第\(i\)个点可以走到的最近关键点，\(t_i\) 为 \(dis_{i.T_i}\) 。由题解得，枚举一条边 \((u,v,w)\) ，若 \(F_u\not=T_v\) ，那么用 \(f_u+w+t_v\) 更新答案。这些数组可以在正反图上跑以所有关键点为源点的最短路径得到。接下来证明这样为什么是对的。

   很显然可以证明，若最短路径为 \(x\to y\) ，其中边 \((u,v,w)\) 在这条路径上且 \(F_u\not=T_v\) ，那么 \(F_u=x,T_v=y\) （假定最短路径只有一条），则 \(f_u+w+t_v=ans\) 。也就是只要证明\(x\to y\)的路径上至少有一条边满足\(F_u\not=T_v\)

   采用反证的方法。比如一张图如下，其中\(1\to n\)为最短路径，方点为关键点，设边权均为\(w\)

   graph LR;
   A[1]
   B((2))
   C((3))
   D((n-1))
   E[n]
   A--A-->B
   B--B-->C
   C-.-D
   D--Z-->E

   对于边\(A\)来说，\(F_u=1,T_v=n\)，要破坏，因为\(F_u\)无法改变，只能改变\(T_v\)，可以连一条\(2\to 1\)的边，边权小于\(w\)，那么边\(A\)就无法对答案产生贡献。再考虑边\(B\)，\(F_u=1,T_v=n\)，要破坏，有两种方法，一种是连一条\(n\to 2\)的边权小于\(w\)的边，另一种是连一条\(3\to 1\)的边权小于\(w\)的边。由于第一种方案会产生一条\(n\to 2\to 1\)的更短的路径，所以排去，只能用第二种。以此类推，最后会连一条\(n\to 1\)的边导致出现了更短的路径。与原来的假设矛盾。故原命题成立

卡点： 无

C++ Code：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define maxn 100010
#define maxm 500010

int cnt, head[maxn], _head[maxn];
struct Edge {
	int to, nxt, w;
} e[maxm], _e[maxm];
inline void addedge(int a, int b, int c) {
	e[++cnt] = (Edge) {b, head[a], c}; head[a] = cnt;
	_e[cnt] = (Edge) {a, _head[b], c}; _head[b] = cnt;
}

int Tim, n, m, k;
int To[maxn], _To[maxn];
long long dis[maxn], _dis[maxn];
bool mar[maxn];

namespace Graph {
	int V[maxn << 2];
	long long *Dis;

	inline int getmin(int a, int b) { return Dis[a] < Dis[b] ? a : b; }
	void modify(int rt, int l, int r, int p, int num) {
		if (l == r) {
			V[rt] = num;
			return ;
		}
		const int mid = l + r >> 1;
		if (p <= mid) modify(rt << 1, l, mid, p, num);
		else modify(rt << 1 | 1, mid + 1, r, p, num);
		V[rt] = getmin(V[rt << 1], V[rt << 1 | 1]);
	}

	void dijkstra(int *head, Edge *e, int *To, long long *dis) {
		const int SZ = maxn << 3;
		memset(dis, 0x3f, SZ);
		Dis = dis;
		memset(V, 0, sizeof V);
		for (int i = 1; i <= n; ++i) To[i] = i;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) if (mar[i]) {
			dis[i] = 0;
			modify(1, 1, n, i, i);
		}
		for (int Tim = n; Tim; --Tim) {
			int u = V[1];
			modify(1, 1, n, u, 0);
			for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
				int v = e[i].to;
				if (dis[v] > dis[u] + e[i].w) {
					dis[v] = dis[u] + e[i].w;
					To[v] = To[u];
					modify(1, 1, n, v, v);
				}
			}
		}
	}
}
using Graph::dijkstra;

int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
	std::cin >> Tim;
	while (Tim --> 0) {
		std::cin >> n >> m >> k;
		for (int i = 0, a, b, c; i < m; ++i) {
			std::cin >> a >> b >> c;
			addedge(a, b, c);
		}
		memset(mar, false, sizeof mar);
		for (int i = 0, x; i < k; ++i) std::cin >> x, mar[x] = true;
		dijkstra(_head, _e, To, dis);
		dijkstra(head, e, _To, _dis);
		long long ans = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
		for (int i = 1, u, v; i <= m; ++i) {
			u = _e[i].to, v = e[i].to;
			if (_To[u] != To[v]) ans = std::min(ans, _dis[u] + e[i].w + dis[v]);
		}
		std::cout << ans << '\n';
		if (Tim) {
			memset(head, 0, sizeof head);
			memset(_head, 0, sizeof _head);
			cnt = 0;
		}
	}
	return 0;
}