LDA-作为线性判别 降维 推导

LDA 降维原理

前面对 LDA 作为作为分类器 有详细推导, 其核心就是 贝叶斯公式, 已知全概率, 求(条件概率)最大先验概率, 类似的问题. 而 LDA 如果作为 降维 的原理是:

a. 将带上标签的数据点, 通过投影, 投影到维度更低的空间中,

b. 使得投影后的点, 同类别会"内聚", 不同类别会 "分隔开",

类似写代码的"高内聚, 低耦合". 注意是要 带标签的点, 不同于 PCA 值考虑 X 降维, y 不考虑. 直观上来理解还是比较容易的, 但怎么去确定投影方向, 这就不好弄了.

假设, 先计算不同类别数据的中心 (这里假设2维, 方便可视化). 如果将数据直接投影到连接中心的向量 w 上(降维), 会发现有重叠, (脑补吧, 不想贴图).

最近我有个奇怪的观点: 理解一个抽象概念, "数形结合" 在某种程度上, 反而不利于直观理解.

比如, 多维下, 是很难可视化的, 而此时的脑图像, 可能还是停留在 2维度, 因而总感觉, "很抽象"

其实,

我认为,

最好理解抽象概念的方式

是

回到抽象概念自身, 从规则, 从内部结构, 从定义去理解, "而非画个图", 低维可以, 高维凉凉了.

比如, 理解 "向量空间", 就不要画什么坐标性, 箭头之类的, "技术层", 多花心思去理解内部结构 加和数乘, 这样的 思想层.

这样就会导致,原来可以线性分割的的数据, 降维后无法分割了. 因此, 类别中心点连线作为 投影线, 是不行的哦.

那么, 最优的投影线要如何确定, 这就是接下来的求解问题

LDA 降维推导

Fisher's 线性降维

• 不同类别, 降维后, 类与类之间, 差异大
• 同一类别, 降维后, 类中数据点, 差异小

自然语言是很好描述的, 如何转为数学语言, 这其实是很有趣味的问题, 突然想到一句很有感触的一句话:

"相比于解决问题, 最难的其实是发现(定义)问题"

不扯了, 直接来吧, 宝贝~ 假设 样本 X 有大 K 个类别, 各个类别(矩阵)的中心 (均值向量) 为 \(\mu_1, \mu_2, ...\mu_k\)

首先,

来描述, 不同类别的 均值 和全局的 均值 之间的 "差异总量" 有多大, 得到一个矩阵

\(S_B = \sum \limits_{k=1}^K(\mu_k - \bar x) (\mu_k - \bar x)^T\)

都是列向量哦, 最后得到一个矩阵, B: 类别间 Between

然后,

来描述, 同一类别中, 各样本点 与 该类的 "中心点" , "距离" 有多大, 同样得到一个矩阵

\(\sum \limits_{i =1}^{n} (x_i - \mu_k)(x_i -\mu_k)^T\)

注: 我这里 n 表示 类别为 k 的 样本数, 是动态变化的哈,非 总体样本数哈

考虑所有类别, 各类之间的样本点差异 "总量", 就再 外层对 k求和, 即:

\(S_W = \sum \limits _{i=1}^K \sum \limits_{i =1}^n (x_i - \mu_k)(x_i -\mu_k)^T\)

W: 同类间的样本点, Within

目标: 其实就是想 找到一个 最优的 投影方向, 即一个向量

又理解了一波向量: 大小即其长度(模), 方向即, 与基坐标原点的连线方向. 二维下即可用 与某轴 的 "夹角" 衡量

\(max _w \ J(w) = \frac {w'S_Bw}{w'S_Ww}\)

\(w'\) 也表示 \(w^T\). 对应向量/矩阵来说, ' 表示转置, 对应函数来说表示 求导

w 的不同数值, 即表示了不同方向的 投影线 (向量的方向)

"组间大,组内小" , 即上式的 分母要尽可能大,分子相对下, 则总体是以最大化问题 ,关于投影线(向量) w 的函数 J(w).

w 向量是可以任意取值的, 为了尽快求解, 可以对 w 做一个条件约束:

\(w'S_ww =1\)

为啥要分子 为1 而不出2,3,4 呢? 其实也可以, 1感觉比较好看 嗯.

为啥能对w约束? \(S_w\) 是已知的嘛, 如果 \(S_w\) 很大, 那 w 必然很小, 瞧, 约束上了

约束的是在干啥? 控制 w 的大致方向范围, 不要人生, 没有方向

转为带约束的最小值问题 ( - 最大 = 最小 )

\(min_w \ J(w) =- \frac{1}{2} w'S_Bw\)

\(s.t. \ w'S_ww = 1\)

引入拉格朗日函数

\(L(w) = - \frac {1}{2} w'S_B w+ \frac {1}{2} \lambda (w'S_ww-1)\)

后面的 \(\frac {1}{2}\) 是为了求导后形式更好看一点, 没啥实际意义

对 w 求偏导, 让其值 为0

\(\nabla_w = 0 = -S_Bw + \lambda S_ww\)

矩阵求导, 网查的, 具体也不太理解和会

即: \(S_Bw = \lambda S_ww\)

等号两边同时 左乘 \(S_w^{-1}\) 即:

\(S_w^{-1} S_B w = \lambda w\)

兄弟们, 这个形式, 形如 "\(Ax = \lambda x\)" 不就是特征分解嘛 (方向平行, 做拉伸变换对向量), 严格来说,

如果 \(S_w^{-1} S_B\) 是对称矩阵, 则 求解 w 则是一个特征分解问题, 但如果 不是对称矩阵呢, 问题就变为了广义特征向量问题了哦.

由于 \(S_B\) 是正交正定矩阵, (先不证明了哈) , 对 \(S_B\) 做特征分解, 可得:

S_B 跟协方差差不多的, 这里证明下协方差是半正定的

协方差阵定义为: \(\Sigma = E[(X-\mu)(X-\mu)^T]\)

只需证明对于任意非零向量 z, 满足:

\(z^T\Sigma z \ge 0 即可\)

\(z'\Sigma z = z' E[(X-\mu)(X-\mu)^T]z\)

\(= E[z'(X-\mu)(z'(X-\mu))^T]\)

\(=E[z'(X-\mu)]^2 \ge 0\)

期望必然是非负, 即证协方差是 半正定

\(S_B = S \land S^{-1} = Q \land Q'\)

矩阵性质: if X 是正交的

\(S_B ^{\frac {1}{2}} = Q \land ^{\frac {1}{2}}Q'\), \(\land\) 是一个对角阵, 就是只有主对角线有值的矩阵.

因此,

\(S_B = S_B^{\frac {1}{2}} S_B^{\frac {1}{2}}\)

现在, 再定义 \(v = S_B ^{\frac{1}{2}} w\) 则对于之前的等式: \(S_w^{-1} S_B w = \lambda w\) 可写为

\(S_w ^{-1} S_B^{\frac {1}{2}} S_B^{\frac {1}{2}} w = \lambda w\)

将 v 代入得:

\(S_w^{-1} S_B ^{\frac {1}{2}} v = \lambda w\)

再两边 左乘 \(S_B^{\frac {1}{2}}\) 得:

\(S_B^{\frac {1}{2}} S_w^{-1} S_B ^{\frac {1}{2}} v = S_B^{\frac {1}{2}} \lambda w = \lambda v\)

简写一波, 令 \(A = S_B^{\frac {1}{2}} S_w^{-1} S_B ^{\frac {1}{2}}\) 其实 A 也是正定矩阵, 此时的形式, 又变为咱熟悉的形式:

\(Av = \lambda v, \ 其中 v = S_B^{\frac {1}{2}}w\)

为啥要弄一通转换? 就是为了求解 w 啊

然后对 A 进行特征分解, 找到 \(\lambda_k 和 v_k\) 后, (回得到很多配对的 \(\lambda_k, v_k\) 取几个大的不就行了吗)

对应的求解 w, 即找到了最佳的投影方向, 能满足 "高内聚, 低耦合"

\(w = (S_B^{\frac {1}{2}})^{-1}v_k\)

LDA vs PCA

• PCA 的 投影线(方向) 是 使得数据点在只上的方差最大, 该投影线的垂直方向可作为类分割线, 不关注标签值

• LDA 的 投影线(方向) 是 使得不同标签的点, 类别之间距离大, 同类之间的点距离小, 标签必须考虑

小结

连推了这两波LDA, 嗯...

作为, 线性分类器, 其核心思想, 就是 贝叶斯

作为, 降维工具, 其原理就是写代码风格的 高内聚, 低耦合

想想, 接下来, 扩展一波, 嗯 综合 LDA 先升维, 在分类 + 核函数技巧 , 琢磨一波....